例談用“Δ≥０”求最大值

隨著中小學課程改革的不斷深入，學科間的聯系必然加強，學科綜合是大勢所趨。數學作為學習物理學科的基礎和工具，它在物理學中的應用越來越重要。下面在電學中舉例說明用“Δ≥0”，求電學物理量的最大值。

例1 一段長為L、電阻值為R的均勻電阻絲，分成兩部分再并聯起來。應怎樣分，才能使并聯的總電阻最大，最大值是多少？

分析 些題已知量少，學生感到無從著解。如果我們能找出兩段導體并聯后的總電阻與某一段導體電阻的關系。利用一元二次方程中的判別式“Δ≥0”就可找出并聯總電阻的最大值。具體解法如下：

解 設將電阻絲R分成的兩部分電阻分別為R₁、R₂。

由于電阻絲的電阻為R，則有：

R₁＋R₂＝R。①

把R₁、R₂并聯，設其總電阻為R總，由并聯電路的電阻關系有：

R總＝R₁R₂/（R₁＋R₂）。②

由①②得：RR總 ＝(R－R₁)R₁。

整理得：R₁2－RR₁＋ RR總＝0。③

對這一方程來講，可看作是以R₁為未知數的一元二次方程。而電阻R₁必定有實數解，

即：Δ≥0。

Δ＝R2－4RR總≥0。

解得：R總 ≤R/4。

可以看出：總電阻R總 有最大值為R/4。

再將R總 ＝R/4代入③可解得R₁＝R/2。

可以看出：總電阻R總 有最大值為R/4。只有當電阻絲平均分為兩段（從中點分）時，并聯總電阻最大。

例2 如圖2所示，電阻R₁為定值電阻，當滑動變阻器的滑片P在a端時，R₁的電功率為4W。當滑動變阻器的滑片在什么情況下，有電功率最大值？最大值是多少？

分析 當滑動變阻器的滑片P在a端時，只有電阻R₁接入電路，此時，它消耗的電功率為P₁=4W，由P=U₂/R可得：

P₁=U₂/R₁=4W。①

設滑動變阻器接入電路的電阻為R₂，它消耗的電功率為P₂，此時是R₁和R₂串聯.電路中的電流為:

I＝U/(R₁＋R₂)。②

由P＝I₂R得:

P₂＝I₂R₂。③

由①②③得:P₂(R₁＋R₂)2＝4R₁R₂。④

整理得:

P₂R22＋（2P₂R₁－4R₁）R₂＋P₂R21＝0。

在此方程中，P₂和R₂都是變量，而我們要求P₂，這就可以看作是以R₂為未知數的一元二次方程。R₂為電阻值必有實數解，即:Δ≥0。

則：（2P₂R₁－4R₁）2－4P₂P₂R21＝0。

整理得：Δ＝4P22R₁2－16P₂R₁2＋16R₁2－4P₂2R₁2≥0。

當P₂≤1時，P₂的最大值為1W。

再把P₂＝1W代入④，有：

(R₁＋R₂)2＝4R₁R₂

解得:R₁＝R₂。

可見，當滑動變阻器接入電路的電阻為R₁時，有電功率最大值。其最大值為1W。

由上述兩例可以看出：

我們遇到求最大值時，只要找出所求量與某一未知量的一元二次方程。再用Δ≥0就可求出需要的最大值。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”