確定不允賣空時證券組合有效邊界解析式的有效指標集法

摘 要：本文首先進一步研究了不允許賣空時n種風險資產均值-方差模型的前沿邊界和有效邊界的構成及其本質特征，然后利用這些結論給出了確定前沿邊界和有效邊界解析表達式的有效指標集法，該方法是一種解析分析法，可以精確且快速地確定有效邊界的解析表達式。

關鍵詞：有效邊界；不允許賣空；有效指標集；二次凸規劃

中圖分類號：F224文獻標識碼：A 文章編號：1003-5192(2008)06-0077-04

The Efficient Indexed Set Methods for Portfolio Efficient Frontier

Without Short Selling

YAO Hai-xiang1， YI Jian-xin2， MA Qing-hua1

（1. School of Informatics， Guangdong University of Foreign Studies， Guangzhou 510006， China; 2. School of Mathematical Sciences， South China Normal University，Guangzhou 516031， China）

Abstract:The paper investigates the structure and properties of the portfolio frontier of mean-variance model without short selling. Then utilizing the properties we give the efficient indexed set methods for obtaining the explicit expression of efficient frontier and boundary of the model. 

Key words:efficient frontier; without short selling; efficient indexed set; convex quadratic

1 引言

1952年Markowitz提出的均值-方差模型［1，2］ 開創了利用定量分析的方法研究現代資產組合投資理論，被譽為金融領域的一場革命。

眾所周知，不允賣空時證券組合的前沿邊界和有效邊界是由一組拋物線段（有限段）相互平穩聯結而成，這由Markowitz本人提出的臨界線的方法已證明［2］，但要求解出不允許賣空時前沿邊界和有效邊界的具體解析表達式并非容易的事情，雖然國內外都有很多學者對這一問題進行過研究，得到了一些求解的方法，但目前還沒一個公認的十分好的方法。

目前，不允許賣空時證券組合前沿邊界和有效邊界的求解方法主要：有Markowitz本人的臨界線方法［2］、文獻［3，4］的解析方法、文獻［5］的樹形算法、文獻［6］的參數單純形法、文獻［7］的“降維”法、文獻［8］的區間搜索法。臨界線方法、單純形法及“降維” 法雖然有較好的理論根據，但計算復雜且比較煩瑣；解析法和樹形算法還在發展中，解析法中如何確定區間的端點和樹形算法中如何確定“多余證券”的問題還沒有得到很好的解決，此外由于這兩種方法是以窮舉法為基礎，所以計算量比較大不適于求解大規模證券組合優化問題；區間搜索法關于步長的選擇比較困難，很難保證沒有遺漏區間，難免有誤差。

本文首先進一步研究不允許賣空時n種風險資產的前沿邊界和有效邊界的構成及其本質特征，然后根據這些結論并針對以上方法的不足，給出了確定不允許賣空時模型的前沿邊界與有效邊界解析表達式的有效指標集法，該方法是一種精確的解析分析法，可以精確且快速地確定不允許賣空時證券前沿邊界和有效邊界的解析式，而且還可以反映出構成前沿邊界和有效邊界的不同拋物線段之間是如何過渡和聯系的。

2 模型的建立及預備課結論

設市場上有n種風險資產，其指標集為S={1，2，…，n}，收益率為ξ1，ξ2，…，ξn，期望向量和協方差矩陣分別為U和Σ，投資組合為W，I為各分量為1的n維向量。設組合收益的期望和標準差分別為u，σ。則不允許賣空時的n種風險資產的均值-方差模型可由以下最優化問題（M1）得到

3 不允賣空時前沿邊界與有效邊界的構成及本質特征

現在我們來研究最優化問題（M2）的最優解J=（（Jr）′，θ′n-r

）′在什么條件下也是最優化問題（M1）的最優解。類似最優化問題（M2）的轉化，最優問題（M1）可轉化為定理2 設為最優化問題（M1）對應期望u的最優解，若滿足當s∈SJ時，S＞0；當sSJ時，S=0。則也是最優化問題（M2）的最優解。定義 若最優化問題（M2）的最優解也是最優化問題（M1）的最優解，則稱SJ指標集為對應u的有效指標集；若最優化問題（M1）的最優解滿足定理2中的條件，則稱SJ為對應u的嚴格有效指標集。由定理1、定理2，我們易得如下性質1。

性質1 存在J，J=1，2，…，K，滿足miniui=1<2<…<K=maxiui，

使得每個區間(J，J+1)對應同一（嚴格）有效指標集，不同區間對應不同（嚴格）有效指標集。

定理1、性質1表明組成前沿邊界和有效邊界的每段拋物線對應一有效指標集SJ及區間。為此，我們研究這些有效指標集及區間之間是如何過渡的？下面定理3將回答這些問題。

4 確定不允賣空時前沿邊界與有效邊界解析式的有效指標集法

定理3表明，從某個有效指標集及對應區間開始，可連鎖反應求出其余所有的有效指標集及其對應的區間。故可得確定不允許賣空時證券組合前沿邊界的步驟：第1步：求出初始有效指標集及其對應的區間，可通過以下方法得到：在(miniui，maxiui)任意取一點u0求解最優化問題

參 考 文 獻：

［1］Markowitz H. Portfolio selection［J］. Journal of Finance， 1952， (4): 77-91.

［2］Markowitz H. Portfolio selection: efficient diversification of investments［M］. Cambridge: Basil Blackwell， 1959.

［3］Voros J. The explicit derivation of the efficient portfolio frontier in the case of degeneracy and general singularity［J］. European Journal of Operational Research， 1987， 32: 302-310.

［4］Voros J， Kriens J， Strijbosch L W G. A note on the kinks at the mean variance frontier［J］. European Journal of Operational Research， 1999， 112: 236-239.

［5］馬永開，唐小我.不允許賣空的證券組合選擇模型研［J］.預測，1999，18（2）:49-52.

［6］曾勇，唐小我.確定有效證券組合構成變動的期望收益率參數化方法［J］.系統工程理論方法應用，

1996，5（4）:21-25.

［7］于維生.組合證券投資的有效邊界［J］.數理統計與管理，1996，15（3）：27-31.

［8］楊德權，楊德禮，史克祿，等.求解不允許賣空證券組合前沿的區間搜索方法［J］.管理科學學報，2001，4（1）：33-37.

［9］史樹中，楊杰.不允許賣空證券組合選擇的有效子集［J］.應用數學學報，2003，（2）：286-299．

［10］蕭樹鐵，等.數學實驗［M］.北京：高等教育出版社，2003.