基于提前支付強度過程的抵押貸款定價與均衡

摘 要：基于提前支付強度過程考察了固定利率抵押貸款合同的定價和市場均衡問題。將均衡問題描述成代表性抵押人與市場之間的博弈。均衡由市場決定的內生抵押貸款利率和抵押人的最優再融資策略描述。在時齊Markov鏈利率及正線性比例再融資成本假設下，抵押人的規劃問題可以簡化成一個僅包含三個離散狀態變量的Markov決策鏈，且一定存在唯一解。從而，均衡可由一個抵押利率決定函數和抵押人的最優再融資策略組成。一個簡單的數值例子說明了計算均衡的迭代算法。結果表明，抵押人選擇再融資往往是不明智的短視行為。

關鍵詞：抵押貸款；提前支付強度過程；Markov決策鏈；內生抵押貸款利率

中圖分類號：F830.9 文獻標識碼：A 文章編號：1003-5192（2008）05-0069-06

Valuation and Equilibrium of Mortgage: An Intensity-based Approach

QIAN Yan-xiang

(School of Finance， Shanghai University of Finance and Economics， Shanghai 200433， China)

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Abstract:Based on prepayment intensity process， the valuation of fixed-rate mortgage contracts is studied and an equilibrium model is built with the specification of a game between the representative mortgagor and the market whose optimal strategy are about the endogenous mortgage rates and whether to refinance a new contract or continue with the current one， respectively. Under the assumption of the rate process of time-homogeneous Markov chain and positive linear refinancing cost， the dynamic programming problem of the mortgagor is simplified to a Markov decision chain with only three discrete state variables which is proved， by standard dynamic programming theory， to have a unique solution. Thus， the equilibrium can be given by a pair of the endogenous rate and the optimal refinancing strategy of the mortgagor. A simple numerical example with an iteration algorithm is finally provided to show how to compute the equilibrium. The results show that the mortgagor is usually too hasty to refinance， thus refinancing is typically a myopic behavior.

Key words:mortgage; prepayment intensity process; Markov decision chain; endogenous mortgage rate

1 引言

抵押貸款（mortgage）的定價是抵押貸款證券化的核心問題。一般認為，抵押貸款合同的價值依賴于提前支付風險（prepayment risk）和違約風險（default risk）。前者指貸款人（如銀行）允許抵押人（mortgagor）在到期日之前就償還當前的貸款余額。后者指抵押人選擇放棄抵押財產而不繼續還款。如果不存在違約風險，那么僅僅包含提前支付風險的抵押貸款合同的價值等于未來現金流（抵押人的付款）的期望現值。抵押貸款可以分為固定利率抵押貸款（fixed-rate mortgage）和浮動利率抵押貸款（floating-rate mortgage）。這里的固定和浮動是針對合同約定的貸款利率而言的。對于固定利率抵押貸款，抵押人每期支付一個固定的金額（coupon）。浮動利率抵押貸款的估值可以非常復雜，所以關于抵押貸款合同估值的文獻大多是考察固定利率的情況。

已有文獻通常采用兩類方法來計算抵押貸款合同價值。一種稱為結構模型（structured models），將提前支付看成一種期權，稱之為再融資（refinancing）期權。因此，這種方法也稱為期權法。抵押人將作出再融資決策，這類似于美式期權的提前執行（early exercise）決策。Dunn and McConnell較早采用基于期權的方法對抵押貸款進行估值［1］。后來的Stanton也通過考察抵押人理性提前支付行為對抵押貸款估值［2］。Kalotay et al.通過利率的網格模型，利用逆向計算得到合同價值［3］。以上這三篇文獻都假設抵押貸款利率服從外生的隨機過程。而Stanton and Wallace以及Dunn and Spatt的模型中包含了內生的抵押貸款利率，這些內生抵押利率依賴于模型中的其他參數［4，5］。然而，這些模型的一個缺陷是假設條件不夠清晰。另外，黃培清和戴建國在充分研究抵押貸款價值對于提前支付行為的二階性質的基礎上，確定了有關提前支付的無風險利率臨界條件，得到了提前支付概率的精確公式和抵押貸款定價的期望值模型［6］。唐文進和陳勇運用交替方向隱性有限差分法對住房抵押貸款合同的價值進行數值分析，結果表明，由于提前支付期權和違約期權的存在，貸款合同的價值遠遠小于貸款總額。另外，他們還發現，房屋價格的波動幅度與抵押貸款合同的價值負相關，而利率波動幅度與抵押貸款合同的價值正相關。從而，他們認為減少商業銀行面臨的提前償還風險和違約風險，住房抵押貸款合同需要使用浮動利率貸款［7］。關于“需要采用浮動利率貸款來減少風險”這一觀點，還存在可商榷之處。

另一種方法稱為簡約模型（reduced-form models），一般建立的是抵押貸款合同的價值關于若干服從外生隨機過程的風險因子的統計模型。Schwartz and Torous引入風險率（hazard rate）的概念，通過一個二因子模型導出抵押貸款合同價值滿足的偏微分方程［8］。另外，Deng以及Deng et al.也采用了類似的處理方法［9，10］。袁桂秋等分別考察了固定利率和浮動利率抵押貸款定價問題［11，12］；王明好等利用跳躍—擴散模型模擬利率隨機過程，結合我國借款人行為特點建立提前償還比例危險模型，運用Monte Carlo模擬方法研究了浮動利率抵押貸款支持證券（MBS）的定價。他們的模擬結果表明，利率跳躍的頻率、跳躍幅度的波動越大，證券價格越大；而利率跳躍幅度的均值越大，證券價格卻越小［13］。

風險率被廣泛用于信用風險的違約模型中，一個重要的概念是所謂的強度過程（intensity process）。Goncharov最近將強度過程引入抵押貸款合同的估值模型，將抵押貸款的提前支付時點類比為信用風險中考慮的違約時點，并在一個連續時間框架下計算出內生的抵押貸款利率［14］。Goncharov的一個重要特點是兩種流行估值方法的統一，即考察最優再融資決策，其中又包含反映風險率的強度過程。另外，Gorovoy and Linetsky也基于強度過程對住房抵押貸款進行估值，提出了一個易于進行解析處理的模型［15］。

本文采用類似于Goncharov的方法，即引入強度過程來描述抵押人的提前支付行為，不同的是采用離散時間框架，即：（1）假定相關參數服從離散的隨機過程（Markov鏈）；（2）采用離散復利。連續復利一般更便于理論分析，本文采用離散復利的目的在于使得問題處理方法及結果與金融機構的實踐更加接近。本文的模型中也包含對內生抵押貸款利率的計算，但與Stanton and Wallace以及Dunn and Spatt模型中依賴于合同年齡（合同簽訂之日到當前時間所經歷的時期數）的內生抵押利率不同。

由于抵押貸款利率的內生性，如果抵押人改變最優再融資行為，則市場上的抵押貸款利率會發生變化，也就是說，內生的抵押貸款利率是依賴于抵押人的最優再融資行為的。因此，這里面存在一個均衡問題。

本文接下來的結構安排如下：首先，提出均衡問題的基本特征和分析思路。事實上，這里的均衡問題可以看成一個博弈模型，博弈的一方為代表性抵押人，另一方為市場。代表性抵押人在給定的抵押貸款利率下選擇最優的再融資策略；市場對代表性抵押人的最優策略作出反應，選擇一個使得競爭性市場無套利機會的抵押貸款利率。其次，分別考察抵押人的最優再融資決策和市場的反應。其中，抵押人的最優決策問題用一個動態規劃來描述。接著，利用某些隱含關系，對動態規劃進行簡化，從而允許在可接受的計算復雜性（computational complexity）下求解最優策略。隨后給出一個簡單的數值例子，從中可以發現一些博弈參與者的基本行為特征。最后對本文的模型和分析結果進行總結，并提出一個可能的再研究方向。

2 均衡問題的描述

考慮一個固定利率抵押貸款市場。無風險利率和抵押貸款利率服從時齊的Markov鏈（r，M），其中r={rt：t=1，2…}為可預測的無風險利率過程，M={Mt：t=0，1，2，…}為抵押貸款利率過程。注意，這里的抵押貸款利率指的是從當前時間t開始生效的期限為N的固定利率抵押貸款合同的約定利率。這里定義的兩個隨機過程的時間指標與貸款合同固定支付的時間指標是一致的。比如，若約定每月末支付，則以上兩個利率表示的是在支付日的隨機值。一個合理的假設是兩種利率均只能取有限個可能值，從而（r，M）的狀態空間是有限的。合同約定的固定貸款利率為m，抵押人每期支付固定金額c，共需支付N期。

假定貸款沒有違約風險，僅包含提前支付風險，即合同允許抵押人在到期日之前提前支付貸款余額。提前支付滿足如下特性：（1）只能在某次固定支付發生后立即提前支付；（2）提前支付的金額必須等于貸款余額；（3）每次提前支付伴隨著一次再融資，即重新獲得一個固定利率為Mt期限為N的貸款，并需要支付一定比例的再融資成本，即如果當前貸款余額為P，則再融資成本為kP，其中，k為一個嚴格正的常數。

在這樣的設定下，均衡問題可以由下面兩部分描述：

第一，抵押人的問題：在既定的外生利率Markov鏈下，選擇具有最小期望現值的再融資計劃。這可以描述為一個Markov決策鏈。狀態變量包括：（1）無風險利率r；（2）抵押貸款利率M；（3）合同約定利率m；（4）每期固定支付c；（5）已支付的時期數n；（6）當前貸款余額P。

第二，市場的問題：給定抵押人的最優再融資決策，利用無套利條件設定一個競爭性的內生抵押貸款利率。這個內生利率可以從抵押貸款合同的估值模型中導出。

這樣，最終的均衡可以表示為{m（#8226;）；s}，其中，函數m（#8226;）為市場的最優策略，即對內生抵押貸款利率的設定方案；s為代表性抵押人的最優再融資策略，即對于狀態向量的每一個取值，都給出最優的選擇：繼續持有貸款或進行再融資。

3 市場的問題：內生抵押貸款利率

先考察市場的問題。內生利率由抵押貸款合同的價值方程在無套利條件下決定。為了給出合同的價值，首先對抵押人的提前支付行為作出更正式的描述，即定義一個提前支付強度過程。若提前支付在第t次固定支付后立即發生，而且在這次固定支付之前從來沒有發生，則強度過程可以定義為z={zt：t=1，2，…，N}，其中

在競爭性市場上，無套利條件要求任何抵押貸款合同的初始價值必須等于貸款初始余額，即V=P0。將這一等式代入(7)式，很容易發現，內生抵押貸款利率必須滿足下式

r1-m=E［∑N-1[]i=1(m-ri+1)βi∏i[]j=1dj+1(1-zj)］(11)

注意到，由利率的時齊Markov鏈假設，(11)式中的期望可看作是以r1的當前值為條件的。這一特征可以作為后面簡化動態規劃狀態變量的一個前提。

4 抵押人的問題：最優再融資策略

下面進一步考察抵押人的最優再融資問題。可以發現，抵押人的Markov決策鏈包含6個狀態變量，其中有連續變量（如P）和離散變量。不過，利用某些隱含條件和假設可以減少部分變量，從而簡化動態規劃的求解。

首先，注意到問題中包含的兩個特征：（1）內生抵押貸款利率關于無風險利率的條件依賴性；（2）利率隨機過程與固定支付時間指標的一致性，從而可以假設當前的抵押貸款利率與隨后市場的無風險利率之間存在一個確定的函數關系m(#8226;)，即

Mt=m(rt+1)， t=0，1，2，…(12)

因此，可以將Mt從狀態變量集中去掉。

其次，由貸款余額方程可知，固定支付c、約定抵押利率m、已支付次數n及貸款余額P之中，可以去掉一個變量。這里我們保留m、n和P。

至此，動態規劃僅剩4個狀態變量r、m、n和P，這樣可以大大減少動態規劃求解的計算量。令v(m，n，P，r)表示動態規劃的價值函數，則動態規劃方程為

這意味著，若抵押人進行再融資，則合同的期望現值將大于不進行再融資時的值。因此，抵押人可能會過于關注每期的固定支付，往往會僅僅為了更少的固定支付選擇了再融資。他并沒有看到新產生的貸款具有完整的期限，而現有的貸款可能已經接近到期日了。從而，新貸款產生的期望現值往往大于現有貸款剩余的期望現值。所以，抵押人作出再融資決策可能是非常不明智的。

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6 結論

本文基于提前支付強度過程考察了固定利率抵押貸款合同的定價和市場均衡問題。將均衡問題描述成代表性抵押人與市場之間的博弈，代表性抵押人在給定的抵押貸款利率下選擇最優的再融資策略；市場對代表性抵押人的最優策略作出反應，選擇一個使得競爭性市場無套利機會的抵押貸款利率。均衡由市場決定的內生抵押貸款利率和抵押人的最優再融資策略描述。在無風險利率和抵押貸款利率服從時齊Markov鏈的假設條件下，抵押人的問題由一個動態規劃（Markov決策鏈）表達。在線性比例再融資成本假設下，規劃問題可以簡化成一個僅包含三個離散狀態變量的等價規劃。這個等價規劃一定存在唯一解。從而，均衡可由一個抵押利率決定函數和抵押人的最優再融資策略組成。一個簡單的數值例子說明了計算均衡的迭代算法。結果表明，抵押人選擇再融資往往是不明智的。

本文給出的例子似乎過于簡單，比如，利率的狀態空間可能包含更多的狀態；貸款的期限可能更長，從而固定支付次數要大得多。此時，問題的計算量將會非常大。因此，求解動態規劃計算均衡需要更有效的算法。

參 考 文 獻：

［1］Dunn K B， McConnell J J. Valuation of gnma mortgage-backed securities［J］. The Journal of Finance， 1981， 36(3): 599-616.

［2］Stanton R. Rational prepayment and the valuation of mortgage-backed securities［J］. Review of Financial Studies， 1995， 8(3): 677-708.

［3］Kalotay A， Yang D， Fabozzi F J. An option-theoretic prepayment model for mortgages and mortgage-backed securities［J］. International Journal of Theoretical and Applied Finance， 2004， 7(8): 949-978.

［4］Stanton R， Wallace N. Mortgage choice: what’s the point［J］. Real Estate Economics， 1998， 26(2): 173-205.

［5］Dunn K B， Spatt C S. The effect of refinancing costs and market imperfections on the optimal call strategy and the pricing of debt contracts［J］. Real Estate Economics， 2005， 33(4): 595-617.

［6］黃培清，戴建國.住房抵押貸款的提前支付特性及其定價［J］.系統工程理論方法應用，2001，10(2):33-36.

［7］唐文進，陳勇.住房抵押貸款定價模型與數值分析［J］.數量經濟技術經濟研究，2006，23(3):59-67.

［8］Schwartz E S， Torous W N. Prepayment and the valuation of mortgage-backed securities［J］. The Journal of Finance， 1989， 44(2): 375-392.

［9］Deng Y. Mortgage termination: an empirical hazard model with a stochastic term structure［J］. The Journal of Real Estate Finance and Economics， 1997， 14(3): 309-331.

［10］Deng Y， Quigley J M， van Order R. Mortgage terminations， heterogeneity and the exercise of mortgage options［J］. Econometrica， 2000， 68(2): 275-307.

［11］袁桂秋，姜禮尚，羅俊.固定支付利率的抵押貸款定價理論——限于在支付日提前支付或違約［J］.系統工程理論與實踐， 2003，23(9):49-56.

［12］袁桂秋，金能.無違約風險的可調支付利率抵押貸款定價原理［J］.系統工程學報，2004，19(2):27-32.

［13］王明好，陳忠，李麗.基于跳躍-擴散利率模型的浮動利率抵押貸款支持證券定價研究［J］.管理工程學報， 2007，21(1):82-87.

［14］Goncharov Y. An intensity-based approach to the valuation of mortgage contracts and computation of the endogenous mortgage rate［J］. International Journal of Theoretical and Applied Finance， 2006， 9(6): 889-914.

［15］Gorovoy V， Linetsky V. Instensity-based valuation of residential mortgages: an analytically tractable model［J］. Mathematical Finance， 2007， 17(4): 541-573.