速度分解的特殊方法

運動的分解是運動合成的逆運算，遵守平行四邊形定則。把一個運動進行分解時，要根據運動的實際效果來確定分運動，高中階段一般有兩類分解方式：

(1)把一個合運動分解為兩個互相垂直的平動；(2)把一個合運動分解為一個平動和一個轉動。

筆者僅就第二種分解方式在此與同行交流。為了更好地讓學生記憶，把該類問題統稱為繩聯問題，解答方法稱為繩子速度相等法。

1 問題提出

3 突破難點

1.如圖5所示，兩個小球用輕彈簧相連接，沿水平方向向右運動，彈簧處于原長狀態。若后面小球的速度大于前面小球的速度，則彈簧將被壓縮，反之則伸長，要保證彈簧既不壓縮又不伸長，只有兩小球沿水平方向有共同速度。

2.請看下面的情景，如圖6所示，物體M在一根桿OA上，桿可繞O點轉動，物體M可沿桿上下爬。在物體M后系一根不可伸長的輕繩，繩繞過光滑的定滑輪與另一個小物體m相連。

(1)桿繞O點轉動，物體M不動，小物體m也不動；如圖7所示。

(2)桿不動，物體M沿桿上下爬動，小物體m也上下移動，且兩者在相等時間內移動的距離相等。可見，小物體m的移動速度大小取決于物體M沿桿方向爬行的速度。如圖8所示。

(3)當桿繞O點轉動，物體M沿桿上下爬動，小物體m也上下移動；此時物體M參與了兩個運動，一是隨桿的轉動，速度為v⊥，另一個是沿桿的爬行，速度為v∥。此時也可以看到，兩者在相等時間內移動的距離關系是：物體M沿桿爬動的距離等于小物體m上下移動的距離，可見，小物體m的移動速度大小取決于物體M沿桿方向爬行的速度。如圖9所示。

3．下面我們換一個角度，從功率關系入手來分析它們的速度大小關系。

在不計繩的質量和形變，以及摩擦阻力的條件下，根據能的轉化和守恒定律，外力對繩的瞬時功率大小等于繩對被牽引物的瞬時功率大小功率。如圖10所示，F1拉繩的功率為F1v1，v1為拉繩的速度，F2拉車的功率為F2v2cosα，v2為車前進(即合運動)的速度，由F1v1=F2v2cosα，又F1=F2，故v1=v2cosα。

結論 對于繩聯(或桿聯)問題，由于繩(或桿)不可伸長，繩聯(或桿聯)物體的速度在繩的方向上的投影相等。求繩聯物體速度的關鍵問題是，首先要明確繩聯物體的速度，然后將兩物體的速度分別沿繩的方向和垂直于繩的方向進行分解，令兩物體沿繩方向的速度相等即可求出。

4 例題解析例題1 有一半徑為R的半圓形豎直圓柱面，現取輕質不可伸長的細繩連接的A、B兩球，懸掛在圓柱面邊緣兩側，A球質量為B球質量的2倍，現將A球從圓柱邊緣處由靜止釋放，如圖11。已知A始終不離開柱面，且細繩足夠長，若不計一切摩擦。求A球沿圓柱面滑至最低點時速度的大小。

析與解 當A球從圓柱邊緣處沿圓柱面滑至最低點時，走至最低點時速度大小為vA，此時B球速度大小為vB。有關系vB=vAcos45°。

對整個系統，以圓柱的水平直徑為零勢點，由機械能守恒定律有：

5 一個相似而不相同的問題

例2 如圖12所示。光滑半圓上有兩個小球(可看作質點)，質量分別為m和M(M＞m)，由不可伸長的細繩掛著。今由靜止開始釋放，求小球m沿光滑半圓運動至半圓的最高點C點時的速度是多少?(小球m沿光滑半圓運動至半圓的最高點C點的過程中不脫離半圓)

析與解 從12圖所示位置由靜止釋放，到A達到半圓頂點這一過程中M受到重力Mg和牽引力F的作用，m將受牽引力F′和重力mg的作用以及球面支持力FN的作用。m和M都將作變加速運動，本題中m走過的圓弧長度始終等于M下降的高度，故二者的速度大小始終相等。當m從半圓邊緣處沿半圓面滑至最高點時，走過的路程是1/4圓弧，而M下降的高度也等于1/4圓弧長。

對整個系統，以半圓的水平直徑為零勢點，由機械能守恒定律有：

(欄目編輯陳 潔)

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