初中數學操作型探究題的分類解析

隨著新課程改革的不斷深入，操作型探究題作為考查學生分析、解決問題以及創新意識的良好載體，而逐漸成為中考的熱點題型之一.

操作型探究題以幾何圖形為背景，通過平移、旋轉構造出新圖形，從圖形的形狀和位置的變化中去探求函數、方程、全等、相似、解直角三角形等知識間的內在聯系.學生通過觀察圖形在變化過程中所隱含的規律，猜想所得結論，并進行證明及相關計算，是解決此類問題的基本策略.解決的過程要綜合到用到數形結合、函數與方程、特殊與一般等數學思想，通過分類討論、相似與全等、函數建模等方法實現問題的解決.圖形在運動變化中，是否保留或具備某種性質，這往往是通過操作、探索、猜想、歸納、證明才能體現.從而凸顯了在中考中注重“方法和過程”的新理念.下面通過幾道題的具體分析，說明此類問題的解題策略.

一、與正方形有關的操作型探究題

范例1：已知正方形ABCD，一等腰直角三角板的一個銳角頂點與A點重合，將此三角板繞A點旋轉時，兩邊分別交直線BC、CD于M、N．

（1）當M、N分別在邊BC、CD上時（如圖1），求證： BM＋DN=MN；

（2）當M、N分別在邊BC、CD所在的直線上（如圖2、圖3）時，線段BM、DN、MN之間又有怎樣的數量關系，請直接寫出結論．

（3）在圖3中，作直線BD交直線AM、AN于P、Q兩點，若MN=10，CM=8，求AP的長．

【思路分析】從（1）問的結論上看，求證兩條線段的和等于第三條線段，易于想到“截長補短”法（如圖4），延長MB到E，使BE=DN，易證△ABE≌△AND，再證△AMN≌△AME，得到MN=ME=BM+DN.同理得到圖2的結論為：MN=BM-DN.圖3的結論為：MN=DN-BM.（3）問屬于運動到特殊情況時求AP的長(如圖5).在Rt△CMN中，利用勾股定理易求

【評析】這道試題設計精巧，新穎別致，考查的知識點包括圖形的旋轉、函數與方程、三角形的全等與相似、正方形的性質、勾股定理、銳角三角函數等；在求解的過程中可以考查學生的閱讀能力、建模能力、對圖形的直覺能力以及在圖形變化中看到不變實質的數學洞察能力和從特殊到一般的思想方法.即要求學生能靈活運用基本知識和基本技能，也要求學生具備一定的實踐操作經驗和較開闊的思維品質，充分體現了中考方向和發展趨勢.

二、與圓有關的操作型探究題

范例2：點A在直線MN上，∠PAM=60°，AD平分∠PAM，AD=6，點C在射線AP上，過A、D、C三點作⊙O.

1.若⊙O與直線MN相切時，求AC長.（如圖1）

2.若⊙O經過直線MN上除點A的另一個點B，當⊙O的大小變化時，給出兩個結論：①AC+AB為定值；② AC-AB為定值.當B在AM上時（如圖2）或當B在AN上時（如圖3），上述結論中是否有正確的結論？如果有，判斷并說明那一個結論成立，并求出定值是多少？

【評析】此題以圓為背景，結合圓的基本性質、三角形的全等、三角函數等知識，考查了學生對初中數學重要知識與技能的掌握情況，在解題思路上一脈相承，重點強調了學生對典型圖形的構造與應用.對知識的遷移與變式都有較高的要求，對學生的可持續發展大有裨益.

三、與三角板有關的操作型探究題

范例3：已知，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，BC=DC，∠BCD=60°.將直角三角板PMN的60°角的頂點放在該四邊形上，使得P點與A點重合.旋轉三角板PMN，在旋轉的過程中，三角板PMN的直角邊PM與直線BC交于點E，斜邊PN與直線DC交于點F，連接EF.

1.當E、F分別在BC、CD邊上時（如圖1），求證EF=BE+DF.

2.當E、F分別在直線BC、CD上時（如圖2、圖3），線段EF、BE、DF之間又有怎樣的數量關系，請直接寫出結論.

3.在圖3中，作直線BD，分別交直線AM、AN于點G、H.若AE=3，求AH的長.

【思路分析】從已知條件中可以證明△ABC≌△ADC，得到∠ABC=∠ADC=90°. AC平分∠BAD.而∠MPN= 60°，易于想到利用旋轉構造△ABE≌△ADQ（如圖4），進一步得到△AEF≌△AQF，得到EF=FQ=BE+DF.同樣的思路可以得到圖2的結論為：EF=DF-BE；圖3的結論為：EF= BE-DF.在問3中，連接AC后（如圖5），得到△ACE∽△ADH，AH∶AE=AD

【評析】此題通過旋轉變換，利用角平分線構造軸對稱圖形，圖1易于得到結論，而圖2、圖3只有借助解決圖1的基本思路，才能出現思維的轉向，從而產生頓悟.問3中，只給出AE=3一個數量關系，去求AH的長度，必然要深入挖掘原題中存在的數量關系，結合所求，構造相似三角形.這樣不斷反復認知與所求，調節思維方向，準確確定思路點，才會柳暗花明又一村.

操作型探究題為學生提供了猜想與探究的空間，展示了學生學習的思維過程，使學生在探究的過程中體驗了問題的提出、結論的探索與應用.不但獲得知識，而且培養了自信的科學精神、創新意識和實踐能力，改變了以往單純的依賴模仿與記憶的學習方式，有助于學生形成“動手實踐、自主探究與合作交流”新的學習方式，有助于學生個性發展.此類試題也必將推動中考試題的進一步發展.

（作者單位：哈爾濱市阿城區雙豐鎮第1中學）

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。