路程最短問題

路程最短問題在教學(xué)中是個難點，學(xué)生在解決此類問題時常不知如何分析，如能將這一類問題其歸納起來教學(xué)，便于學(xué)生掌握，有利于學(xué)生綜合復(fù)習(xí)，筆者現(xiàn)將其在以下幾個方面的應(yīng)用總結(jié)如下：

1．水管最短問題. 如圖（1）在河邊修一個水泵站，分別向張村、李莊供水，問修在河邊什么地方可使所用的水管最短？說一說你的理由.

這個題的解法并不難，如圖2作A點關(guān)于河L的對稱點A'，連A'B交河岸L于C，則點C為水泵站.

因為在河邊另外任一點C'建站，

所走的路程就是AC'+C'B，但是 AC'+C'B=A'C'+C'B＞A'B=A'C+CB=AC+CB.可見，在C點以外任何一點建站，所走的路程都要遠一些.

2.將軍飲馬問題.如圖2，將軍每天從軍營A點出發(fā)先到河邊C處飲馬，然后再去河岸同側(cè)的B地開會，應(yīng)該怎樣走才能使路程最短，這就是廣泛流傳的“將軍飲馬問題”.解法同上.

3．正方形中線段最短問題.如圖 3，正方形ABCD的邊長為6，M在CD的延長線上，且DM=2，N為AC上一動點，則DN+MN的最小值是多少？

解決這題的關(guān)鍵是如何確定動點N的位置，才能使DN+MN的值最小，如果引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想，將D、M抽象成張村、李莊，AC為河邊，由正方形對稱性得D關(guān)于AC的對稱點為B，另一點M與B點的連線與AC的交點即為N點. MN+DN=MB，由勾股定理很容易得出MB=10，即DN+MN的最小值為10.

4．菱形中線段最短問題.如圖4，已知菱形ABCD中，AB=6，∠BAD=60°.E是AB的中點，P是對角線AC上一個動點，則PE+PB的 最小值是多少？

同樣也是要找出點P的位置，將B、E抽象成張村和李莊，AC是河邊，根據(jù)菱形的對稱性，B關(guān)于AC的對稱點為D，則連接ED交AC的點即為P點，PB+PE=ED，在Rt△ABC中，由勾股定理很容易得出 .

因此在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的實質(zhì)即當(dāng)兩個點在一條直線同側(cè)時，在該直線上找一點，使得該點到兩點距離最短問題時，只要結(jié)合不同變化的圖形，找出其中一點關(guān)于該直線的對稱點，再將另一點與該對稱點連接交該直線上的一點即為所要尋找的使線段最短的點，再結(jié)合相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識求出線段最短問題.

（作者單位：七臺河市逸夫中學(xué)）

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。