重慶市２００４～２００７高考數學命題特點探析

重慶是實施高考自主命題的省份之一，其高考數學命題受到一定的關注，并在很大程度上指導著一線教學和科研．本文就其中的“概率與統計”部分在“知識點的考查頻數”、“知識點的難度水平”兩個層次進行了分析和總結，并提出具有一定針對性的備考建議．最后總結出“概率與統計”在控制試題難度方面經常會考慮的六個因素．

重慶市高考實施自主命題已逾四年，由于高考試題是傳達學習方向和要求水平的最重要載體之一，因而無論是在實踐還是理論層面都備受關注．重慶又是我國西南重鎮，其命題反映著西南地區的特色和水平，示范性和方向性都非常值得關注．本文對其2004~2007“概率與統計”（理科）的數學命題特點進行分析．

1知識點的考綱要求水平統計

四年來“考試大綱”對“概率統計”知識點的要求水平有沒有變化呢？

根據《普通高等學校招生全國統一考試數學科考試大綱》（2004~2007，理科）和三年來重慶數學試題的實際呈現結果，我們析出了兩大類共12個知識點作為本次研究的知識因素．兩大類分別是概率和統計，其中概率包括一般隨機事件、等可能事件、互斥事件、相互獨立事件、獨立重復試驗、離散型隨機變量的分布列、離散型隨機變量的期望值與方差等7個知識點；統計包括抽樣方法、用樣本估計總體、正態分布、線性回歸、頻率分布直方圖等5個知識點．其中隸屬于分布列的“超幾何分布”和“二項分布”是兩個應用廣泛的概率模型，屬于考查范圍內但沒有單列；“頻率分布直方圖”屬于2007年實際考查但并沒有列入“考綱”的知識點．“考綱”具體要求水平如下表：

2知識點的考查次數統計

本部分將揭示：重慶命題組對“概率與統計”的知識點是否有偏好？

在研究中，我們約定：同一知識點在同一小題中多次重復出現不進行累加；同一知識點在同一大題的不同小題或不同大題之間重復出現，其次數進行累加；如果同一道試題可以用不同的知識點來解答，而且方法是常規的、切實可行的，那么我們認為這些知識點在本題中都被涉及了，其次數也進行累加．所謂“非常規”、“不可行”方法是指雖然理論上這種方法可以解決問題，但耗時太長以至于在考試中根本不可能實施的方法．“大題”指編號為1，2，……的題目；“小題”指在一個大題中編號為（Ⅰ），（Ⅱ），……的題目（如2007第18題）．下面是知識點所屬題號統計：

不難發現，命題組對“概率”在考查次數上的偏好是明顯的，因為所有列出的知識點都已被測試過（尤其是等可能事件，每年必考且多個題目都涉及），而概率又集中于“等可能事件”、“互斥事件”、“相互獨立事件”等規范概率模型；“統計”只在2006年測試了“頻率分布直方圖”，其余的都沒有被涉及，呈現出明顯的“一邊倒”情形．

2008關于“知識點側重”的備考觀點：

（1） 重復獨立試驗早就是考綱中的一員，其對應的二項分布更是應用比較廣泛的概率模型．四年來，只被考查過一次顯然不能體現它的分量，因此跳過一個2007年后，2008年繼續對它實施考查可能性非常大．

（2） 滲透在?？贾R點（等可能事件、互斥事件、相互獨立事件）里面的是兩個基本計數原理——分類計數和分布計數原理，他們是提高“概率與統計”試題難度的主要因素．因此，如果想取得比較理想的成績，加強對二者的訓練是必須而且是關鍵的．

（3） 盡管出區分度稍高的試題比較難，但鑒于“統計”在現實生活和科學研究中的地位，增加對它的考查是必然的．比如將“頻率分布直方圖”與“正態分布曲線”結合起來考查學生對分布函數（試題中不會出現這個概念）的初步了解不失為一個好的想法．

3被考查過的知識點的期望難度水平與實際難

度水平的差異比較本部分將揭示：重慶“概率與統計”試題的實際難度水平與期望難度水平（考綱要求水平）是否一致？

雖然理論上存在考查水平A（了解）的情形，但實際四年來所有試題均至少是在B（理解和掌握）水平上展開的（當然它包括了A水平）．盡管如此，真正的試題還是不像“課標”或“考綱”那樣對知識點的期望難度規定的比較具體，所以確定一道數學試題的實際難度水平是一個比較棘手的問題．為了解決這個問題，我們研究了新課標對知識點要求水平的“行為動詞表1”，以其中的“行為動詞”為研究工具分析并描述試題的實際難度水平．也就是說，我們用一道試題中知識點對應的“行為動詞”所屬的難度水平刻畫該知識點的難度水平．有一個問題需要指出，新課標中“掌握”是排在第三水平——掌握/應用/遷移中，考綱中“掌握”是排在第二水平——理解和掌握中．我們不糾纏于文字的表面差異，而是根據“行為動詞”的實質內容將新課標中的“掌握”在難度水平上等同于考綱中的“靈活和綜合應用”，其相應的“行為動詞”用來刻畫考綱中的“靈活和綜合應用”而不是“掌握”．考綱中的“掌握”是用課標中“理解/獨立操作”的行為動詞進行刻畫．

另外，在下面的研究中，我們約定：如果同一道試題多次涉及某一個知識點，那么我們將以難度水平最高的那次（水平）刻畫該知識點在本道試題中的實際難度；如果在一套試卷中有多道題目涉及同一知識點，那么將以各道試題難度水平的均值刻畫本套試卷中該知識點的實際難度；如果同一道試題用相同知識點來解有不同的解法，而各解法的難度水平又不一致，那么我們將用各難度水平的均值刻畫該知識點的實際難度．如果同一道試題可以用不同的知識點來解答（視為不同的解法），其知識點難度水平以所討論的知識點在試題中的實際呈現水平為準，整道試題的難度水平取不同解法難度水平的均值．為便于計算，水平A、B、C分別用1、2、3代替．統計結果如下：

其中，表中第3列的2.5計算方法是，2004年第18（Ⅱ）如果直接求解，其難度水平為3；如果借用18（Ⅰ）的結論，則其難度水平為2，取其難度水平的均值得到．

運用非參數（nonparametric tests）的雙獨立樣本t檢驗（two-independent-samples tests）對四年來各個知識點實際考查水平與期望水平的差異進行分析的結果如下：（考綱對“頻率分布直方圖”的要求沒有說明，所以它不進入分析）

上表顯示：考綱的期望難度水平與2004~2007每年的實際難度水平均無顯著差異，而且一致性良好．這表明重慶市“概率與統計”試題難度控制是穩定的，與考綱要求擬合度比較好．

因為我們想考察一種觀念——“知識點有越考越難一點兒的趨勢”——是否為真，所以對“早已入綱（2004年以前）的概率模型”（包括一般隨機事件、等可能事件、互斥事件、相互獨立事件、獨立重復試驗）也進行了類似分析：

結果表明，在0.05顯著水平上，上述5個知識點的期望與實際兩個難度水平也不存在顯著差異．但同時我們應該看到，其相應的顯著性概率值都低于表6中的值．這表明在這5個知識點上，實際難度與期望難度的差異高于其他（含總體）知識點間相應的差異．

結論：命題組對“早已入綱的概率模型”在難度上也是有所偏重的，其實際難度水平稍高于期望難度水平（見下面的圖2），但并沒有出現顯著差異；對 “分布列和期望值、方差”等“新入綱概率模型”在難度上沒有偏重，其實際難度水平與期望水平高度一致；總體上，被考查的7個知識點的實際難度水平與期望水平沒有顯著差異．說明重慶市“概率與統計”試題的實際難度水平與“考綱”的期望水平非常接近，可以認為是一致的．

2008關于“知識點難度”的備考觀點：

（1） 由于2004年的第11題、2005年的第15題和第18（Ⅰ）題、2006年的第18（Ⅰ）題、2007年的第6和第18（Ⅰ）題均是在第三水平（而非“考綱”的第二水平）上測試相關知識點，所以，考綱中為“掌握”（處于第二水平）的知識點在實際訓練中不宜按字面意思直接對號入座，有時候要按第三難度水平進行操作．因為事實表明，考綱和課標對“掌握”一詞的界定和劃分并不對等．

（2） “一般隨機事件”的考綱要求是第一水平A（了解），但對試題解決過程中的實際“行為動詞”的研究表明，2007這次考查（第6題）是在第2.5水平展開的．對其他省份（如2007，全國Ⅰ，18題；2007山東，18（Ⅰ）題）試題的考察也有類似的結論——略微高于考綱要求．所以，知識點范圍被限制并不表明知識點的要求會被精確控制．

（3） 注意解決問題的方法策略．2007第18題表明命題人非常想讓你通過求“對立事件”的概率而不是直接從正面突破來計算答案，從正面計算答案會增加試題對你個人的相對難度．這是知識點在運用策略或方法上的隱性難度．

（4） 年度平均難度發展的趨勢，請看下面的折線圖：（圖2）

如果繼續是保持“波動”的話，2008年的平均難度應該是比2007年高一點．

4增加試題難度的因素分析

首先，總的來講，現在真正在生活和科學研究中發揮重大作用的是基于對大量隨機現象進行描述和分析的“數理統計”，不是“概率”．而且，基于“概率論與數理統計”的數據分析過程對“概率的計算技巧”要求也并不高，甚至只是“算法”的．這一點在課標中已得到明確闡述．

其次，我們把難度因素分為兩類：關于知識點的和關于試題的，二者是局部和整體的關系，這種分類只是便于說明問題，沒有特別的意義．

關于知識點的難度因素：

（1） 提高知識點“行為動詞”的實際要求水平（簡稱“知識要求”）．比如2007的第18（Ⅰ）題 對“互斥事件”的實際要求就略高于考綱期望要求．

（2） 設置比較生疏、復雜的情景或背景2（簡稱“背景”）使知識點所對應的數學模型難以被提取或者抽象出來．比如2006第18（Ⅰ）題，將“獨立重復試驗”這一模型從題目情境中提取或抽象出來就很不直觀；該題如果使用“分類”和“分步”兩個計數原理，思路雖然簡單，但“分析”其中的各種情況卻比較復雜．所以，“生疏”和“復雜”都是增加“概率”試題難度的手段，其中涉及的“分析”或“討論”兩個解題行為基本是在新課標關于“知識與技能”的第三水平展開的，不是考綱中要求的第二水平，請特別留意．

（3） 改變考查知識點的視角（簡稱“考查視角”）

例如：分布列的“反向考查”——給出隨機變量全部分布列的一部分，然后求它取某一具體值或取值范圍的概率．比如下表，給出ξ全部分布列的一部分，求1）隨機變量ξ取3的概率．

這種手法在2007年全國卷（Ⅱ）第18題（Ⅰ）考查“等可能事件”中出現過，重慶四年來的“概率與統計”試題中還未出現過類似思維．

關于試題的難度因素：

（4） 在同一道試題中增加知識點含量2（簡稱“知識含量”）．比如，2004年第18題涉及四個知識點；2005年第18題涉及五個知識點．

（5） 選擇恰當的解題方法（簡稱“方法選擇”）．比如前面已經介紹的2007第18題，求“對立事件”的概率將使問題變得簡單，否則正面求解會花很多時間．

本部分的特殊難度因素：

（6） 整理知識體系，為今后的學習做一些滲透或鋪墊（簡稱“知識整理”）

例如：還是上題（表9）的條件，求2）ξ取值在區間［2，4］上的概率；3）ξ在區間［2，4］上的期望值．當然，試題很可能會賦予分布列以實際意義．

為什么會有上述想法呢？首先，從大學課程“概率論與數理統計”的設置看，今后學生（無論是純數學還是與數學有關的經濟學、管理學、統計學等）都要接觸“連續型隨機變量的概率密度（函數）”概念．但求連續型隨機變量在某個“點”上的概率是沒有意義的——都是零，因而，連續型隨機變量的概率都是在區間而非“點”上討論的．為了讓學生有全面的認識，同時也為學習連續型隨機變量增加一點必要的過渡，命題人有理由設計上述考法．其次，從測試的角度來講，考查離散型隨機變量在某個“小范圍”內的概率或數學期望比在“整個范圍”內更經濟，因為它在效度得以保證的前提下減少了運算量，符合命題的經濟性原則．

那么四年來六種難度因素出現的頻數如何呢？

在下面的研究中，我們約定：對“知識要求”因素，我們統計試題中知識點的實際難度水平超過期望水平的次數；對“背景”因素，我們統計使用“社會公共知識”或“學科情景”2作為情景的次數，因為一般學生對二者比較生疏；對“考查視角”因素，我們統計使用“反向考查”或“側面考查”知識點的次數；對“知識含量”因素，統計一道試題涉及的知識點超過4個（含）的次數；對“方法選擇”因素，統計存在多種解決方法且解法難度有差別的題目出現的次數；對“知識整理”因素，統計存在“知識整理”現象的題目出現的次數．結果請看下圖3：

上圖顯示，“知識要求”和“背景”是重慶實現試題難度的兩個最常用因素，“方法選擇”次之；“考查視角”和“知識整理”還沒有使用過．相比之下，重慶命題主要靠提高知識點的“質”性難度而較少使用增加知識點含量等“量”性措施來體現難度！

總之，透過對“概率與統計”部分命題特點的分析，我們認為，重慶市四年來試題的方向、重點都是清晰而明確的，其難度也是穩定的．認真理解和把握滲透在試題中的“方向和重點”，進行有針對性的準備是切實減輕學習負擔、提高備考質量的關鍵．

參考文獻

1． 嚴士健，張奠宙，王尚志．普通高中數學標準（實驗）解讀．江蘇教育出版社，2004

2鮑建生．中英兩國初中數學課程綜合難度的比較研究［D］．博士論文．華東師范大學出版社，2002

32004-2007重慶市高考數學試卷（理科）

4史寧中，孔凡哲，李淑文．課程難度模型．我國義務教育幾何課程難度的對比．東北師范大學報（哲學社會科學版），2005（6）

5教育部．普通高中數學課程標準（實驗稿）

“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文”