神秘數及其性質

數學興趣小組組長小明宣布這次活動的主題是：“神秘數及其性質.”

小芳心直口快，搶先發問：“什么是神秘數？好迷人的名字.”

小明笑了笑說：“名字的確迷人.如果一個正整數能表示為兩個連續偶數的平方差，那么稱這個正整數為神秘數.比如：4=2²-0²，12=4²-2²，20=6²-4²，因此，4，12，20這三個數都是神秘數.”

小明話音剛落，性急的小婷便急忙說道：“我也找到了兩個神秘數28和36，請看，28=8²-6²，36=10²-8².”

小明說：“請大家考慮這樣一個問題：2012是神秘數嗎？為什么？”

小勇說：“2012這個數字太大了，一時難以判斷.我國著名數學家華羅庚先生十分贊賞‘退’中求進的解題策略，我們不妨把問題‘退’到較為簡單的情況：小數字的神秘數4，12，20有什么規律，再根據這個規律來判斷2012是否為神秘數.”

小琳點頭表示贊同：“哦，這個思路不錯！我發現神秘數4，12，20都是4的倍數.”接著她在黑板上寫出：

4=4×1=2²-0²，12=4×3=4²-2²，20=4×5=6²-4².

小剛也不甘示弱，他搶著說：“我也發現神秘數4，12，20是4的奇數倍，把它們寫成兩個連續偶數的平方差時，較大的偶數比奇數大1，而較小的偶數比相應的奇數小1.”

一聲不響的小娜也搶著說：“小琳和小剛說得對極啦！12=4×3=4²-2²，的確可以把神秘數12看作奇數3的4倍，也可以把12看作是4的奇數倍（3倍）.把12寫成兩個連續偶數的平方差時，較大的偶數4比相應的奇數3大1，較小的偶數2比相應的奇數3小1.”

小明說：“能否把這個規律一般化呢？”

小嚴說：“完全可以！我們可以借助完全平方公式來化簡.不妨設k為非負整數，則2k和2k+2為兩個連續偶數.”接著他在黑板上寫出：

（2k+2）²-（2k）²=4（2k+1）.

他接著說：“等式的左邊是兩個連續偶數的平方差，是一個神秘數，等式的右邊是4的奇數倍，也就是說，神秘數是4的倍數，但不是8的倍數，這就是神秘數的性質.”

性急的小婷也搶著說：“這個等式還為我們判別一個數是否為神秘數提供了方便.我們可以令4（2k+1）=2012，解得2k=502.則2k+2=504，代入等式，可得2012=504²-502²，所以2012是個神秘數.”

看到問題完滿解答，組長小明高興地說：“我們不應滿足于這些成果，請大家再考慮這樣一個問題：兩個連續奇數的平方差（取正數）是神秘數嗎？為什么？”

小亮是本班的“數學通”，他胸有成竹地說：“我們已經知道，神秘數可表示為4（2k+1），因為2k+1是奇數，因此神秘數是4的倍數，但一定不是8的倍數；另一方面，設兩個連續奇數為2n+1和2n-1（n為正整數），則（2n+1）²-（2n-1）² =8n，即兩個連續奇數的平方差是8的倍數.因此，兩個連續奇數的平方差不是神秘數.”

本文所涉及的問題，也是2006年浙江省的一道中考題.解這一類探索題的關鍵是從特殊情況里發現規律，用含有字母的代數式表示其中的規律，然后根據這個一般的規律解決具體的問題.這種方法請同學們務必掌握.