讓數(shù)學(xué)文化走進(jìn)數(shù)學(xué)課堂

摘 要：本文通過一個(gè)運(yùn)用數(shù)學(xué)史的教學(xué)案例，說明讓數(shù)學(xué)文化走進(jìn)數(shù)學(xué)課堂的必要性和有效性，并通過問卷調(diào)查現(xiàn)在教師對數(shù)學(xué)史在課堂上的運(yùn)用情況以及是否贊成數(shù)學(xué)史走進(jìn)數(shù)學(xué)課堂，提出讓數(shù)學(xué)史發(fā)揮更有效的作用是亟帶解決的問題。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)史 課堂 數(shù)列極限

筆者執(zhí)教期間，學(xué)生問筆者這樣一個(gè)問題：“老師，數(shù)學(xué)這么難，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)到底有什么用？”

數(shù)學(xué)一直以來和枯燥乏味聯(lián)系在一起，課改以前，繁、難、偏、舊是中學(xué)生對數(shù)學(xué)的一貫評價(jià)。傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課程一般以“掐頭去尾燒中段”的形式進(jìn)行教學(xué)， 導(dǎo)致了數(shù)學(xué)教學(xué)脫離實(shí)際的傾向。學(xué)生不用了解數(shù)學(xué)知識(shí)的現(xiàn)實(shí)背景和形成、發(fā)展的過程，也不用了解數(shù)學(xué)知識(shí)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用，只要會(huì)解數(shù)學(xué)題就可以了。學(xué)生被淹沒在沒有實(shí)際意義的題海戰(zhàn)術(shù)里，數(shù)學(xué)成了打人的“棒子”，濾人的“篩子”。難怪學(xué)生會(huì)問出學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)到底有什么用的問題。其實(shí)正像已故著名數(shù)學(xué)家華羅庚教授曾指出的，宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，數(shù)學(xué)無處不在。

怎樣讓學(xué)生覺得學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是有用的，怎樣讓數(shù)學(xué)課堂煥發(fā)生命的活力，怎樣把枯燥無味的數(shù)學(xué)課堂變成吸引學(xué)生的磁場，怎樣激發(fā)學(xué)生從“冰冷的美麗”到“火熱的思考”？答案只有一個(gè)，讓數(shù)學(xué)文化走進(jìn)數(shù)學(xué)課堂！

請看一堂數(shù)列極限教學(xué)案例（教學(xué)過程）

1. 人們最初對無限的認(rèn)識(shí)

戰(zhàn)國時(shí)代哲學(xué)家莊周著的《莊子·天下篇》中一句話：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭。”潛含無限思想。

同時(shí)期，古希臘的數(shù)學(xué)家兼哲學(xué)家齊諾提出了四個(gè)悖論。其中“阿基琉斯和烏龜賽跑”是最著名的一個(gè)。烏龜和阿基琉斯賽跑，烏龜提前跑了一段——不妨設(shè)為100米，而阿基琉斯的速度比烏龜快得多──不妨設(shè)他的速度為烏龜?shù)?0倍，這樣當(dāng)阿基琉斯跑了100米到烏龜?shù)某霭l(fā)點(diǎn)時(shí)，烏龜向前跑了10米；當(dāng)阿基里斯再追了這10米時(shí)，烏龜又向前跑了1米，……如此繼續(xù)下去，因?yàn)樽汾s者必須首先到達(dá)被追趕者的原來位置，所以被追趕者總是在追趕者的前面，由此得出阿基琉斯永遠(yuǎn)追不上烏龜。這顯然與人們在生活中的實(shí)際情況是不相符合的。如何用數(shù)學(xué)來解釋？

如果能夠求解這些和，這個(gè)矛盾就解決了。人們只有掌握了極限知識(shí)之后，才能真正地解決。

2. 極限思想的歷史淵源

公元前5世紀(jì)的古希臘智者用圓的內(nèi)接正多邊形以及外切正多邊形的邊數(shù)不斷加倍的辦法來接近圓的面積，他們認(rèn)為圓的面積可以取作邊數(shù)不斷增加時(shí)它的內(nèi)接和外切正多邊形的面積的平均值。這可能是西方應(yīng)用極限計(jì)算圓面積的最早設(shè)想。后來被歐多克斯發(fā)展成“窮竭法”，阿基米德用這種方法證明了球的體積和球面面積。

我國三國時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)》的注文中，第一次把《莊子》中的極限思想用于算“園田”和“弧田”的面積，創(chuàng)立了一種推求圓周率的方法，即“割圓術(shù)”。 他把圓周分成三等分、六等分、十二等分、二十四等分……這樣繼續(xù)分割下去，所得多邊形的周長就無限接近于圓的周長。他指出：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣。”這就是極限思想。

3. 缺乏極限定義，引發(fā)第二次數(shù)學(xué)危機(jī)

盡管極限的思想由來已久，然而在隨后的漫長歲月中卻沒有什么進(jìn)展。歐洲文藝復(fù)興之后，生產(chǎn)力和科學(xué)水平都有了突飛猛進(jìn)的發(fā)展。這些發(fā)展對數(shù)學(xué)提出了新的要求和挑戰(zhàn)，由此產(chǎn)生了許多新的數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法，其中最重要的發(fā)明之一就是牛頓和萊布尼茨創(chuàng)立的微積分學(xué)。隨著越來越多的人們對無窮數(shù)列進(jìn)行求和運(yùn)算，矛盾與錯(cuò)誤也層出不窮。還引發(fā)了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。如求和：

為了解決這樣的矛盾，澄清人們對“無限”運(yùn)算的認(rèn)識(shí)，就需要對極限有一個(gè)嚴(yán)格的定義。

4. 數(shù)列極限概念

容易發(fā)現(xiàn)，數(shù)列中的項(xiàng)隨著n的增大而減小，但當(dāng)n大于0且無限增大時(shí)，相應(yīng)的項(xiàng) 可以無限地趨近于常數(shù)0。

容易發(fā)現(xiàn)，數(shù)列中的項(xiàng)隨著n的增大而增大，但當(dāng)n大于1且無限增大時(shí)相應(yīng)的項(xiàng) 可以無限地趨近于常數(shù)1。

容易發(fā)現(xiàn)，數(shù)列中的項(xiàng)是正負(fù)交錯(cuò)地排列的，并且隨n的增大其絕對值減小，當(dāng)n無限增大時(shí)相應(yīng)的項(xiàng) 可以無限地趨近于常數(shù)0。

極限的思想是數(shù)學(xué)中極為重要的思想，極限概念是學(xué)生學(xué)習(xí)微積分的基礎(chǔ)，然而在數(shù)學(xué)史上，極限概念的完善卻是在微積分產(chǎn)生之后，數(shù)學(xué)家們在解決第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的過程中，經(jīng)過近百年的工作才給出了極限ε-δ的的定義方法。對于高中如何進(jìn)行極限的教學(xué)一直是個(gè)爭論的問題。

德國著名數(shù)學(xué)家F1·克萊因認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)至少在原則上要遵循“個(gè)體發(fā)育史重蹈種族發(fā)展史”——這項(xiàng)生物發(fā)生學(xué)定律。因?yàn)榭茖W(xué)的教學(xué)方法只是誘導(dǎo)人去作科學(xué)的思考，而不是一開頭就教人去碰冰冷而美麗的結(jié)論。按照歷史順序教授數(shù)學(xué)，能使學(xué)生“看清一切數(shù)學(xué)觀念的產(chǎn)生是如何遲緩;所有觀念最初出現(xiàn)時(shí)，幾乎常是草創(chuàng)的形式，只是經(jīng)過長期改進(jìn)，才結(jié)晶為確定方法，成為大家熟悉的有系統(tǒng)的形式”。法國著名數(shù)學(xué)家龐加萊主張數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容應(yīng)完全按照歷史發(fā)展順序展現(xiàn)給讀者，他說:“動(dòng)物學(xué)家堅(jiān)持認(rèn)為，在一個(gè)短時(shí)期內(nèi)，動(dòng)物胚胎的發(fā)育重蹈所有地質(zhì)年代其祖先們的發(fā)展歷史。人的思維發(fā)展似乎也是如此。教育工作者的任務(wù)就是讓孩子的思維經(jīng)歷其祖先之所經(jīng)歷，迅速通過某些階段而不跳過任何階段。鑒于此，科學(xué)史應(yīng)該是我們的指南。”匈牙利著名數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家波利亞則指出:“只有理解人類如何獲得某些事實(shí)或概念的知識(shí)，我們才能對人類的孩子應(yīng)該如何獲得這樣的知識(shí)作出更好的判斷。”荷蘭數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾亦持有類似觀點(diǎn)，稱：“年輕的學(xué)習(xí)者重蹈人類的學(xué)習(xí)過程，盡管方式改變了。”

因此這堂課從極限的發(fā)展史角度展開課題，反璞歸真，努力揭示數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論的發(fā)展過程和本質(zhì)，把數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為學(xué)生易于接受的教育形態(tài)，體現(xiàn)了新課程“強(qiáng)調(diào)本質(zhì)，注意適度形式化”的理念，增加了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

這節(jié)課這樣的安排，從課堂上學(xué)生的回答及課后作業(yè)來看，效果是滿意的。那么有多少教師在他們的數(shù)學(xué)課堂上引入了數(shù)學(xué)文化，對此筆者設(shè)計(jì)了問卷進(jìn)行調(diào)查。90.2%的教師承認(rèn)自己沒有足夠的數(shù)學(xué)史知識(shí)，甚至有個(gè)別教師認(rèn)為自己一點(diǎn)都沒有。90.6%教師認(rèn)為數(shù)學(xué)課上介紹數(shù)學(xué)史是有必要的，而且絕大多數(shù)教師認(rèn)為數(shù)學(xué)史的教學(xué)對提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、上課的積極性、加深對數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容理解是有幫助的。但是100%的教師認(rèn)為，講數(shù)學(xué)史學(xué)生是喜歡的，對學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣也是有提高的，但是時(shí)間不允許，一節(jié)課45分鐘，落實(shí)知識(shí)點(diǎn)都不是很充裕，根本沒有多余的時(shí)間來講解數(shù)學(xué)史知識(shí)。對于犧牲落實(shí)知識(shí)的時(shí)間來講數(shù)學(xué)史知識(shí)，幾乎100%的教師是不贊成的。因此，對數(shù)學(xué)文化走進(jìn)數(shù)學(xué)課堂這一道路是正確的，但是如何讓數(shù)學(xué)文化走進(jìn)數(shù)學(xué)課堂是我們今后要努力探討的方向，使得數(shù)學(xué)教師在時(shí)間上有講解數(shù)學(xué)史的可能，在觀念上并不認(rèn)為講數(shù)學(xué)史知識(shí)是犧牲了寶貴的上課時(shí)間，如何讓數(shù)學(xué)史發(fā)揮更顯著的作用是亟待解決的問題。

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注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。”