洛比塔法則求函數(shù)極限趣談

摘 要： 本文論述了使用洛比塔法則處理不定型極限問題，以及求極限過程中正確使用洛比塔法則的各種值得注意的情況。

關(guān)鍵詞： 洛比塔法則 不定型極限 四則運(yùn)算 無窮小量

求極限是微積分中的一項(xiàng)非常基礎(chǔ)和重要的工作，在建立了極限的四則運(yùn)算法則、反函數(shù)求導(dǎo)法則，以及復(fù)合函數(shù)極限運(yùn)算法則和求導(dǎo)證明之后，對于普通的求極限問題，都可以通過上述法則來解決，但是對于形如 ， ，∞-∞，0·∞，∞ ，1 ，0 的7種不定式，上述法則往往顯得力不從心，而有時(shí)只能是望塵莫及。

17世紀(jì)末期的法國數(shù)學(xué)家洛必達(dá)給出了一種十分有效的解決方案，即著名的洛必達(dá)法則，在使用洛必達(dá)法則解題過程中，可能會(huì)遇到一些常見誤區(qū)和盲點(diǎn)。本文的目的不是為了追求解題技巧，而是為了展示一種好的解題習(xí)慣，以減少讀者在用洛必達(dá)法則解題過程中可能出現(xiàn)的失誤。

我們把當(dāng)x→a（或x→∞）時(shí)，函數(shù)f(x)和F(x)都趨于零或都趨于無窮大時(shí)的 和 統(tǒng)稱為不定式極限，不定式極限一般可采用由洛必達(dá)法則求解。但要特別注意必須滿足洛必達(dá)法則的條件：

（1）當(dāng)x→a（或x→∞）時(shí)， 是不定式極限；

（2）在a點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)（或當(dāng)｜x｜＞N時(shí)），f′(x)和F′(x)都存在且F′(x)≠0；

（3） 存在(或?yàn)闊o窮大)。

同時(shí)在解題中只要滿足洛必達(dá)法則的條件，洛必達(dá)法就可繼續(xù)使用。

一、直接利用洛必達(dá)法則求解

解： 本題是 型不定式，但對分子分母同時(shí)求導(dǎo)后得的 ，當(dāng)x→0時(shí)的極限并不清楚（既不是某個(gè)常數(shù)，也不是無窮大），故不滿足洛必達(dá)法則的條件（3），不能采用洛必達(dá)法則。由導(dǎo)數(shù)定義易得極限是1。

求極限的方法很多，洛必達(dá)法則是其中較好的一個(gè)。我們在使用它時(shí)，必須注意該法則是極限存在的充分條件。也就是說，洛必達(dá)法則存在的三個(gè)條件必須滿足，才能使用洛必達(dá)法則處理不定式。要注意的是，前兩個(gè)條件是一望便知的，第三個(gè)條件是通過計(jì)算過程的嘗試驗(yàn)證才能知道的。

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注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文?！?/p>