數學史的問題設計

數學史的問題設計是學生理解數學思想、感悟數學文化的有效載體，是貫徹《數學史選講》[1]教學過程的一項重要任務，不僅直接關系到數學史的教學效果，也將對學生的數學觀產生深遠影響.

數學史的問題設計必須體現數學史知識“歷史的”和“數學的”雙重特性，堅持以三維目標為導向，以體現數學史的教育實質為宗旨，進行辨證施治．問題設計不妨適當降低“知識與技能”的要求，強化“過程與方法”的思想，突出“情感、態度與價值觀”的體驗和感悟，著力于實現數學史的教育功能.同時，還

需改良慣有的數學問題設計思路，通過傳承與創新，為數學史教育尋找到恰當的問題設計范式．

一、數學史問題設計的基本原則

1.問題指向的科學性

科學性是對數學問題的結構、指向及敘述的合理性、嚴謹性和清晰性的要求．鑒于數學史知識不同于數學定義或定理，尤須注重問題指向的科學性.《數學史選講》擇其精要編擬成書，必將受制于整體布局，對于“A是B”之類的問題，不能隨意改編.例如對于“笛卡兒和費馬共同分享了創立解析幾何的殊榮”，我們可以認為“費馬是解析幾何的創始人”，但設計成“費馬是 的創始人”則是錯誤的.作為17世紀上半葉最偉大的數學家之一，費馬還與帕斯卡分享了概率論開創者的榮譽，奠定了數論的基礎.

2.材料組織的思想性

數學史實際上是與人類的各種發明與發現、人類經濟結構的演變以及人類的信仰相互交織在一起的.通過有效地組織素材，把數學史實串聯集中起來，可以揭示數學形式之中蘊涵著的人類的思想和精神，展現數學史中最激動人心的部分．例如勾股定理在教材中并沒有專題介紹，而是逐步滲透穿插于各個章節：先在第一講中點出普林頓322號數學泥板所刻的勾股數表，再在第二講中指出勾股定理的證明方法可能是所有數學定理中證法最多的.然后在第三講中又提及了趙爽弦圖的“無字證明”，在第四講中又延伸至“費馬猜想”.從遠古的發現到無數人投入其中的證明乃至它產生的廣泛的應用價值，勾股定理折射出人類文明的發展歷程.

3.呈現方式的人文性

彰顯數學的人文色彩可以提高學生對數學文化的感知能力.例如，在設計“ 表示什么數？”時，不妨借鑒語文中“起、承、轉、合”的寫作手法，進行“文學”的處理：（起）早期數的概念總是與具體的事物緊密相連的．（承）羅素曾說：“不知道要經過多少年，人類才發現一對錦雞和兩天是數字2的例子．”研究表明，一般人的數覺不超過四．（轉）但人類有一種獨具的特性——計數．從計數到豐富多彩的記數制度，是古代人民長期實踐和智慧的結晶．中國古代用算籌表示數，算籌記數法就是現代的十進位值制．（合）如果你生活在春秋時期，能說出“ 表示什么數嗎？”平和的表述，增加了信息承載量，讓學生認識到“數”的概念來之不易，也能體會到數學與人類文明發展的聯系.

二、數學史問題設計的基本策略

1.化虛為實，感受數學思想

數學思想是數學的靈魂，是數學精神的高度概括，也是數學史的精華所在．值得注意的是，作為抽象層面的數學思想，因為數學史的描述而有了直接表露的機會．公理化思想、數形結合思想、極限思想、集合論思想……在數學史中熠熠生輝．與學生之前的解題經驗相比，他們更為全面地了解數學思想的發生、發展、成熟的動態過程．因此，有必要在數學史的問題設計中突出數學思想．與單純地以解題來直觀認識數學思想不同的是，這里的問題設計還可以置之于廣闊的歷史視野中，通過歷史的洗禮以詮釋數學思想所具有的巨大的社會文化價值．

例如公理化思想．“歐幾里德與《幾何原本》”一節介紹了歐幾里德用公理化方法把過去的知識系統化、條理化地整理在一個嚴密的系統之中．展示其原汁原味的證明可以加深學生對合理化思想的理解.

如圖1，在△ABC中，若AC=BC，求證：∠A=∠B．

下面是歐幾里德對該命題的證明過程．

因為任何角都能被平分（前已證），∠C是一個角，因此它也能被平分．

作角C的平分線CD．

因為任何兩個三角形的兩邊和這兩邊所夾的角，與另一個三角形的兩邊和這兩邊所夾的角相等，則這兩個三角形全等（前已證），而AC=BC，∠ACD=∠BCD，CD=CD，所以△ACD與△BCD全等．

因為兩個全等的三角形對應角相等，而△ACD與△BCD全等，所以∠A=∠B.

這種推理模式就是學生熟悉的“三段論”，過程之嚴謹赫然在目，材料中出現的“前已證”隱含了公理化的方法，學生自然能夠理解《幾何原本》中為什么作出一些定義、公理和公設．

除了推理的嚴密性，這種思想令人著迷之處還在于：它只須從盡可能少的原理出發，借助正確的推理就可以得出正確的結論，因而賦予了人類不必依靠實驗就能預見事物、尋找真理的能力．它的歷史示范作用如此巨大，甚至被引用到其他學科中．史料表明：牛頓所著《自然哲學的數學原理》的結構是一種標準的公理化體系．“現代哲學之父”笛卡兒也深受啟發，在《方法論》中建立了其哲學體系的基礎.

2.化一般為特殊，理解數學家的眼光

數學的歷史也是數學家的思想史．“數學的每一分支打上了它的奠基者的烙印，并且杰出人物在確定數學的進程方面起決定性作用．”[2]在數學發現或數學創造的背后，蘊涵著數學家睿智的思想、敏銳的視角和獨特的行為方式．理解數學家的眼光，有助于理解數學發展的歷史進程．

然而，數學家與中學生之間的差異是顯而易見的，數學史中涉及的不少內容難免超出學生的知識水平之外．如果一味地介紹結論，學生難以洞察其中的玄機．而照搬問題的解決過程，又讓學生感到晦澀難懂．把數學問題進行特殊化處理是破解這一難點的有效途徑．

阿基米德創立的“平衡法”開了積分學的先河，是數學與物理的完美結合.教材中僅給出了“拋物弓形的面積是等底等高三角形的 ”這個結論，教師可以把斜線段AC特殊化成與x軸平行，探求特殊弓形AOC面積（見圖2）．

過點A作拋物線的切線交y軸于N，歐幾里德已在《二次曲線》中證明得出MO=ON.作CE∥MN交直線AO于F，交AN于E，過弦AC上任意點D，作DQ∥MN.則線段CF與FE的長度關系是 ①．延長AF至R，使FA=FR．

首先，阿基米德證明了：FR·DB=FP·DQ．其物理意思是：把FR和FP看作以F為支點的杠桿的兩臂，若把DB看作是放在R處的重物，它就會與放在P處的重物DQ相平衡．然后，阿基米德把弓形AOC與△AEC的面積一起進行比較．他把弓形AOC的面積看作是由DB這種線段積成的，把△AEC面積看作是由DQ這種線段積成的，因此有：FR·弓形AOC的面積=FP·△AEC的面積．

現在，阿基米德把所有線段DQ（的質量）集中于重心G，則弓形AOC的面積:△AEC的面積=FP:FR=FP:FA=FG:FA=1:3．又因為△AOC與△AEC的面積的比例關系滿足 ②，故弓形AOC面積是△AOC面積的③ ．

在設計中，較難的知識以陳述方式直接給出，基本體現了“平衡法”中用微分思想和杠桿原理求弓形面積的主要脈絡，把接近學生認知水平的部分交給學生完成，學生憑借初中幾何知識就能解決上述問題，從而對阿基米德解決該問題技巧之高超、方法之巧妙產生共鳴.

3.化陌生為熟悉，錘煉理性精神

數學中充滿著猜想、發明和探究，研究性學習與數學史相結合是踐行新課程理念的理智選擇．它使“數學”與“文化”在歷史的背景中有機地融合起來，既提升理性思維，又帶有濃郁的文化色彩，從而能夠深入到精神層面．借鑒海克爾的“生物發生學基本定律”，從“早期的算術與幾何”到“康托爾的集合理論”，《數學史選講》涉及了自小學到高中的主要數學知識，并昭示著這些知識的后繼發展方向，這無疑是開展研究性學習的良好機會，也是數學史問題設計的絕佳模板．在問題設計中，以數學史為“源”，以熟悉的數學知識為“根”，可以調動學生的主觀能動性，開展積極的思考和探索．

算盤與算籌的相似之處顯而易見，算籌中一根上籌當五，一根下籌當一；而算盤中，梁上一珠當五，梁下一珠當一．為提高運算速度，我國古代先民還編制出了各種口訣．不妨讓學生反觀熟悉的“珠算加法口訣表”，這些規律是如何得到的呢？以“加四”中的“四下五去一”為例．

記某檔的梁下算珠有n（0≤n≤5）個，梁上算珠有N（0≤N≤1）個，該檔表示的數字是x，則x=n+5N．

當x=2時，n=2，N=0．因為x+4=6，而6=1+5=1+N，只須把梁上的算珠撥下一個，把梁下的2個算珠撥去一個，俗稱“下五去一”；

當x=3時，n=3，N=0．因為x+4=7，而7=2+5=2+N，只需把梁上的算珠撥下一個，并把梁下的三個算珠撥去一個，仍然是“下五去一”；

同理，當x=4，5時也是“下五去一”．那么，x取哪些值時采用“四去六進一”？

通過驗算這些口訣，至少回答了學生兒時的懵懂記憶，獲得了數學的明證，從中認識到“歸納——猜想——證明”乃是科學發現的通途、理性思考的借鑒．把中國古代數學崇尚“技藝實用”的價值取向與西方文化注重“演繹思辨”的數學價值觀結合起來，錘煉出當代社會需要的理性精神．

4.化散為聚，體驗多元文化

數學是全人類共同的遺產，不同文化背景下的數學思想、數學創造都是根深葉茂的世界數學之樹不可分割的一枝．從多元文化的角度認識數學，會讓我們的學生以平等、開放的眼光看待本民族與其他民族文化傳統之中的數學成果，樹立正確的數學觀，實現多元文化觀點下的數學教育目的．

在“豐富多彩的計數制度一節”，教師可以把各種記數制度整合在一起，設計問題：下面看似散亂的圖畫中，內容是從1到15的連續的自然數，分別用羅馬數字、中文數字、算籌數字、古巴比倫數字、古希臘數字、二進制數字、古埃及數字、瑪雅數字、阿拉伯數字等表示.當你依數的大小順序用折線連接數字下方的點號時，你將洞悉這個奇妙的謎底（編者注：謎底是一個五角星.原題無連接各點的虛線，虛線由編者加注）．

數學史中的“多元”現象還表現在數學史家就同一歷史現象的多角度、多層次的研究成果上，這是數學史問題設計的寶貴資源，它們散見于各種論文或專著，課堂中讓學生閱讀這些資料當然是不現實的．教師可選其精華、集中材料，以適當的方式呈現．例如可以讓學生選擇適合《九章算術》和《幾何原本》風格的某些說法，如注重演繹推理與注重實際應用，幾何代數化與代數幾何化，以算法或公理化組建理論體系等等，提高學生多元化分析與評價事物的能力．

目前，我國中學層面的數學史教育正處于起步階段，數學史問題設計的研究工作任重道遠.我們相信當數學伴隨著歷史的腳步走近學生之時，學生也將在數學史的學習中走進數學的殿堂．■

參考文獻：

[1] 人民教育出版社，課程教材研究室，中學數學課程教材研究開發中心．數學史選講[M]．北京：人民教育出版社，2007．

[2] 莫里斯·克萊因．古今數學思想（第一冊）[M]．上海：上海科學技術出版社，2002：58．

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”