用Ｌｅｖｅｎｂｅｒｇ－Ｍａｒｑｕａｒｄｔ法進行二維介質重構

摘 要：對于在TM 柱面波、平面波簡諧波照射下，接收裝置采用線狀、環狀裝置，在有約束和沒有約束情況下的目標重構，從散射的積分方程出發，采用矩量法離散該積分方程，對所得的非線性方程組采用Levenberg-Marquardt方法求解，其中對正則化因子，即阻尼因子的選取采用修正的Feltcher算法。數值結果表明該方法可以減少求解方程組的病態性，具有較好的收斂性。比較數值仿真結果，給出二維介質重構的實驗設置方法。

關鍵詞：重構；Feltcher算法；微波成像；非線性方程組

中圖分類號：TP391 文獻標識碼：B

文章編號：1004-373X(2008)06-053-03

Reconstruction of the Two-Dimension Inhomogeneous Media with a Levenberg-Marquardt Method

ZHANG Hui，LI Zongling，ZHANG Xiaodi，MA Fengquan

(Xianyang Teacher College，Xianyang，712000，China)

Abstract：The reconstruction of is obtained from the scattered integral equation based on the method of moment with pulse-basis function and point matching while the receiver distribution is the circular shape or linear one，the constraint is forced or not，the incident wave is cylindrical wave or plane wave.The integral equation is discretized by MOM，it is solved with Levenberg-Marquardt method and the damping factor is selected with the modified Feltcher algorithm.Numerical example shows the method possessed good convergence and can obtain good reconstruction results.In final the reconstruction configuration of a 2-D inhomogeneous object is given.

Keywords：reconstruction；Feltcher algorithm；micro-wave imaging；non-linear equation

微波成像是一種以微波作為信息載體，利用在目標外獲得的散射場來重構物體的形狀、位置以及構成參數等的一種成像方法。由于該方法在醫學^[1]、非損壞性探測^[2]、遙測^[3]等領域有廣泛的應用前景，而使得對于實驗方法、重構算法的研究有了長足的發展。從研究的文獻看，在目標重構中對于散射場的接收有線狀裝置、環形裝置，照射目標體的的電磁波有柱面波、平面波等。重構的算法有基于衍射層析的第一代算法，求解弱的、小的散射體的Bron，Rotv^[4]算法以及修正的梯度算法、修正的Bron算法^[5]等。由于介質重構是一個病態問題，病態性加劇了解決問題的復雜性。Levenberg-Marquardt(L-M)方法^[6]是解決所研究病態問題的一種有效的方法，而該方法的關鍵是選擇合適的阻尼因子，基于此，本文對阻尼因子的選取采用選擇阻尼因子的修正的Feltcher算法^[7]，經數值仿真表明：該方法既可保持一定的收斂速度，又可改善問題的病態性。

本文對于2-D柱狀目標體目標，從目標散射的積分方程出發，采用矩量法離散該積分方程，對所得的非線性方程組采用L-M方法求解，其中阻尼因子的選取采用修正的Feltcher方法^[7]。在比較了在TM柱面波、平波照射下，接收裝置為線狀結構和環狀結構、

在有經驗約束和無約束情況下目標的重構，比較仿真結果給出介質重構的實驗裝置設置。

1 構型

對于二維目標介電常數進行重構。其構型如圖1接收裝置為環狀結構，圖2為線狀接收裝置。在圖1、圖2中，區域Ω中的二維目標，被不同入射方向的(用θinl表示，l=1，2，…，J)時諧TM波eil照射，eil為平面波或柱面波，R=1，2，3…為接收器所在點。

圖1 環狀接收散射

2 前向問題和逆向問題

在微波成像中，許多微波成像系統都可形成如下的算子方程^[5]：

4 數值模擬結果和討論

定義：反差函數和散射場的相對誤差分別為：

在式(16)中C0，e0s分別為反差函數和散射場的理論值，es和C(c)分別為散射場和反差函數的迭代值。

本節給出二維目標復介電常數的重構結果。在所給的例子中，背景介質取為真空，目標反差函數其實部和虛部如圖3(a)，(b)。其中阻尼因子的選取是采用修正Feltcher算法。[KH-2]

圖3 目標反著函數實部和虛部

圖4(a)，圖4(b)和圖5(a)，圖5(b)是采用平面波作為入射波、接收器分別為線狀和環狀分布，在有經驗約束(constraint)和無經驗約束(un-constraint)時的ErrS和Erres相對于迭代次數的關系圖。圖中顯示線狀接收裝置在無約束情況下，迭代的散射場要比有約束的情況更接近理論值，但有約束的迭代其反差函數的相對誤差在一定的迭代次數之后比無約束更小。而對于環狀接收裝置，在約束情形下，散射場和反差函數的相對誤差比無約束的要小。比較線狀接收裝置和環狀接收裝置的數值仿真結果：有約束的環狀接收裝置目標重構的反差函數相對誤差小于同迭代級次的線狀接收裝置。

圖4 ErrS和Erres相對于迭代次數關系圖

圖5 ErsS和Erres相對于迭代次數關系圖2

圖6(a)，圖6(b)是分別以平面波、柱面波，接收裝置為線狀、環狀裝置，(plnear linear，平面波入射，接受為線狀裝置；planear circular，平面波入射，接受為環狀裝置；cylinder circular，柱面波入射，接受為環狀裝置；)有約束情形下的ErrS和Erres相對于迭代次數的關系圖。

從數值仿真的結果看在有約束、入射波為平面波的情形下且接收裝置為環狀分布時，重構的反差函數有較小的相對誤差。

圖6 ErrS和Erres相對于迭代次數關系圖3

圖7(a)，圖7(b)是采用入射波為平面波、接收裝置為環狀分布、有約束的情況下，在第11次迭代時的目標實部和虛部的重構結果。

圖7 目標虛實部的重構結果

5 結 語

數值仿真結果表明：修正的Feltcher算法，在一定的初始值范圍內，算法具有較好的收斂性，收斂性對初始值的要求較為寬松。對于二維目標介質的重構，比較好的實驗系統設置為采用平面波作為入射波，接收器采用環狀分布。在重構的過程中，如果考慮經驗資料的話，將能得到好的重構結果。修正的Feltcher算法的缺陷是在選擇正則化因子的過程中需多次求解方程組，增加了計算量，同時在仿真過程中未考慮噪聲的影響。所以，減少計算量和考慮噪聲的影響將是下一步努力的方向。

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注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。