例談巧用數學反例

小學數學課堂教學中經常用到數學反例。所謂數學反例即是否定的數學例證。為了防止或否定學生對于數學知識的錯誤認識而列舉的一些數學事例。它是數學課堂上的“調節器”。運用數學反例對學生的智力活動能起定向糾錯、提煉升華的作用，并維持數學課堂教學按既定的路線進行。現就學生在理解和運用知識的過程中何時出示數學反例談幾點看法。

1 當概念的內涵比較豐富時要舉反例。

所謂內涵比較豐富是指關于概念的本質屬性比較多。小學生的感知不全面、不精細，理解這類知識時，可能因教師揭示其本質的方式不當致使學生常常丟掉了新知中部分本質屬性，從而產生錯誤的認識。此時可舉反例，幫學生找回被丟掉的部分本質屬性，獲得正確知識。例如，學習“等腰直角三角形，知識時，等腰直角三角形的本質屬性較多，內涵豐富，由“等腰”“直角”“三角形”三方面組成。一些學生學習后，不是丟了等腰，就是忘了直角，有的甚至丟了三角形三條邊“首尾相連”的性質。此時要舉反例，如“直角”常為學生忽視，錯把等腰三角形判定為等腰直角三角形，這時老師應出示等腰直角三角形的正確圖形，引導學生在比較中再次認識“直角”，否定錯誤的認識。另外“等腰”、“首尾相連”等性質亦可如是強調。因此，當學生對內涵豐富的知識感知不全時可通過數學反例，突顯出所學知識中易為學生忽視的本質屬性。促進學生對所學知識的全面認識，深刻理解。

2 當某一概念易向鄰近概念泛化時，要舉反例。

在數學的知識結構中，相近的或相互聯系的知識，學生容易發生混淆，在心理學上稱為“痕跡性錯誤”，主要是因舊知識痕跡的影響而發生的錯誤。概念泛化即指學習概念過程中痕跡錯誤的發生過程。此時可通過舉反例否定學生的錯誤認識，澄清相鄰概念的區別和聯系。如概念“整除”和“除盡”，內涵相仿，都是表示除得的結果沒有余數，但整除的要求更嚴格；把除盡作為判定整除的條件，顯然是錯誤的。為了防止錯誤的產生，抑制概念的泛化，老師出了一道錯誤的判斷題：2能被0.4整除，由錯例得出整除的條件不單是余數為0.除數和商應分別是整數和自然數，分清了概念的區別處。

3 當練習中出現消極思維定勢時，要舉反例。

消極思維定勢指思維定勢在學習中的消極影響，表現為在定勢的防礙下學習者不易改變思維方向，而用既定的思路去解決已發生變更的問題，以致解題錯誤。此時可舉反例，打破消極定勢，引導學生從實質上分析并解決問題。

4 當解題過程中被表面現象干擾時，要舉反例。

數學問題的解決是按照一定的思維對策進行的一個思維過程，并一步步接近目標，最終達到目標。小學生看問題常常被事物的表象所迷惑而干擾他們對數學知識本質的認識。此時可舉反例，排除干擾，揭示本質。例如學習正比例知識時，學生抓不住其中“比值一定”的本質，常把一些看來相似卻不屬于正比例的問題當作正比例問題來解答。如有的學生看到松樹的年齡增大，它的高度也隨著增加，就毫不猶豫地把“松樹的高度和松樹的年齡”判定為正比例關系，

總之，數學反例是數學課堂教學中一個調節器。其功用旨在防錯、糾錯。至于它在課堂教學中更大的價值，還有待深挖細研。

責任編輯 楊 博