命題邏輯中代數(shù)學(xué)的影子

摘要：命題邏輯是一個(gè)以命題為基本研究對象的數(shù)學(xué)化的邏輯系統(tǒng)，命題邏輯是數(shù)理邏輯的基礎(chǔ)，也是計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)的理論基礎(chǔ)。為了深入理解命題邏輯，將命題邏輯與一般的代數(shù)學(xué)進(jìn)行比較，從6個(gè)方面簡要總結(jié)和論述命題邏輯中代數(shù)學(xué)的一些思想和方法，使得讀者能從中體會(huì)到代數(shù)學(xué)的一些思想和方法在命題邏輯中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：命題邏輯；代數(shù)學(xué)；數(shù)理邏輯；二義性

中圖分類號：TP30

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B

文章編號：1004—373X(2008)04—126—02

最早人們是使用自然語言研究邏輯，在某些情況下，由于自然語言容易產(chǎn)生二義性(如雙關(guān)語等)，這給邏輯的研究帶來了很大的麻煩和不便。由于數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性，為了克服這種弊端，人們便在邏輯的研究中引進(jìn)數(shù)學(xué)的方法(即引進(jìn)一套符號體系的方法)，這樣就產(chǎn)生了數(shù)理邏輯。數(shù)理邏輯是從量的側(cè)面來研究邏輯的。從模型化的觀點(diǎn)來看，數(shù)理邏輯是研究“數(shù)學(xué)思維”的一種數(shù)學(xué)模型。數(shù)理邏輯又稱符號邏輯，這種方法的優(yōu)點(diǎn)是表達(dá)簡潔，推理方便、概括性好、易于分析。

命題邏輯是一個(gè)以命題為基本研究對象的數(shù)學(xué)化的邏輯系統(tǒng)，命題邏輯是數(shù)理邏輯的基礎(chǔ)，是計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)的理論基礎(chǔ)。對命題邏輯的理解直接影響數(shù)理邏輯的其他內(nèi)容的學(xué)習(xí)和理解。既然命題邏輯是一種用數(shù)學(xué)的方法研究邏輯而形成的學(xué)科，那么就需要關(guān)注在命題邏輯中所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)的思想和方法。本文就命題邏輯中代數(shù)學(xué)的一些思想和方法做簡要的總結(jié)和論述。

1 命題邏輯中代數(shù)學(xué)的影子

(1)量化的思想

為了研究的方便，首先對命題進(jìn)行量化。盡管具體的命題很多，但從真值的角度來看，只有2個(gè)——真命題和假命題。規(guī)定真命題的真值為1，假命題的真值0。這樣就完成了對命題的量化。

(2)引進(jìn)邏輯運(yùn)算符、規(guī)定邏輯運(yùn)算規(guī)則，從而形成了一整套命題定律

代數(shù)學(xué)實(shí)際上是一系列的“運(yùn)算”，這種“運(yùn)算”能在任何符號(不一定是數(shù)學(xué))的集合上，根據(jù)一定的公設(shè)來進(jìn)行。

命題邏輯引進(jìn)了相當(dāng)于代數(shù)學(xué)中的代數(shù)運(yùn)算符(如+，－，×，÷等)一樣的邏輯運(yùn)算符(邏輯聯(lián)結(jié)詞)，∧，∨，→，等，同時(shí)命題邏輯以真值表的形式規(guī)定如何進(jìn)行運(yùn)算(即運(yùn)算的規(guī)則)，也規(guī)定在有多種邏輯運(yùn)算符參加的運(yùn)算中邏輯運(yùn)算符的優(yōu)先級，這就相當(dāng)于在代數(shù)學(xué)中先算乘方、開方，再算乘法、除法，最后計(jì)算加法、減法一樣。邏輯聯(lián)結(jié)詞運(yùn)算的優(yōu)先級從高到低為∧，∨，→。從而也形成了一整套命題定律。

(3)引進(jìn)常量和變量

與代數(shù)學(xué)一樣，命題邏輯也引進(jìn)命題常量(常元)和變量(變元)，這樣使邏輯的研究發(fā)生重大的變革，邏輯的研究也進(jìn)入變量時(shí)代，這是一種質(zhì)的飛躍，可以說數(shù)理邏輯是一種變量邏輯、變量數(shù)學(xué)。這樣邏輯的研究就能像數(shù)學(xué)一樣進(jìn)行演算和推理。這為邏輯的研究帶來了極其豐富的思想和方法。

(4)引進(jìn)與代數(shù)式很相似的命題公式

命題邏輯也引進(jìn)像代數(shù)學(xué)的代數(shù)式一樣的命題公式。代數(shù)學(xué)中的代數(shù)式實(shí)際上是用代數(shù)運(yùn)算符按一定的規(guī)則、聯(lián)結(jié)代數(shù)運(yùn)算對象而成的一個(gè)字符串，而命題公式則是用邏輯運(yùn)算符按一定的規(guī)則聯(lián)結(jié)邏輯運(yùn)算對象而成的一個(gè)字符串；命題公式和代數(shù)式都是一個(gè)字符串，他們惟一的區(qū)別是運(yùn)算符、運(yùn)算對象和運(yùn)算規(guī)則不同，其余都是相同。如果從更抽象的角度來看，只有運(yùn)算規(guī)則不同。所以把一個(gè)命題公式可以看成一個(gè)代數(shù)式，對命題公式施行一些與代數(shù)式很類似的一些變換和演算。例如代數(shù)學(xué)中在代數(shù)式的所有變量的值給定的情況下，可以求代數(shù)式的值。命題邏輯中在一個(gè)命題公式的所有變量的值給定(即命題公式的真值指派或解釋或賦值)情況下，就可以求命題公式的值(在一個(gè)真值指派下命題公式就變成一個(gè)命題，他就有確定的真值)。如果抽象的看，求代數(shù)式的值和求命題公式的值沒有本質(zhì)的區(qū)別。

(5)命題函數(shù)的引進(jìn)

函數(shù)是代數(shù)學(xué)研究的重點(diǎn)，也是代數(shù)學(xué)的核心，函數(shù)是研究變量關(guān)系的一種重要的工具和模型。在完成前面一些工作以后，命題邏輯自然也引進(jìn)命題函數(shù)。如：

(6)引進(jìn)換元的思想和方法

命題邏輯中的代人規(guī)則，實(shí)際上就是代數(shù)學(xué)中換元的思想和方法在邏輯的研究中的再現(xiàn)與應(yīng)用。運(yùn)用基本的永真式和基本的永假式與命題邏輯中的代入規(guī)則可以產(chǎn)生大量的永真式和永假式。

2 結(jié) 語

利用代數(shù)學(xué)的思想和方法研究邏輯是數(shù)理邏輯最主要的特征，也是邏輯研究的新境界。學(xué)習(xí)數(shù)理邏輯一定要看到代數(shù)學(xué)在命題邏輯中的影子，否則就無法正確地理解命題邏輯的真含。