多分層介質中平面電磁波的傳播特性分析

摘 要：多分層介質中平面電磁波的傳播和散射是一個重要研究課題。在電磁波正入射，各區域均由雙軸介質組成情況下，用代數方法對多分層介質中平面電磁波的傳播特性進行分析，用波阻抗法和等效傳輸原理計算出了各層介質的反射系數和透射系數的理論公式。結果表明代數方法易于理解但是計算量較大，波阻抗法計算量降低了一半。

關鍵詞：平面電磁波；分層介質；反射系數；透射系數；代數方法；波阻抗

中圖分類號：TN011文獻標識碼：A文章編號：1004373X(2008)1903603

Analysis of Plane Wave′s Transmission Rule in Multi-layered Media

MA Ruhui，LIU Shengchun

(School of Physics and Electronic Information，Yan′an University，Yan′an，716000，China)

Abstract：The plane wave′s transmission and scattering in multi-layered media is an important research topic.While electromagneticwave is the regional media by the composition of the biaxial，the analysis of plane wave′s transmission rule in multi-layered media by algebraic method is the main concern of the paper.Working out each layer′s academic expressions of reflection coefficient and transmission coefficient by wave impedance method and equivalent transmission principle.The results show that algebraic method is easy to understand but a large amount of computing，wave impedance method of reducing by half.

Keywords：plane wave;stratified media;reflection coefficient;transmission coefficient;algebraic method;wave′s impedance

隨著電磁波技術在通訊、勘探、微波成像等諸多領域的不斷發展，電磁波在介質中的傳播問題引起了人們的廣泛關注。其中電磁波在多分層介質中傳播特性的研究不僅對于解決復雜的逆散射問題有所幫助，也可以分析一些介質的某些物理屬性。由于地球介質其物性變化是層狀的，即具有分層結構^［1］，尤其在進行地下目標探測時經常會遇到在多層介質中埋入被探測的目標，所以必須研究多分層介質中平面電磁波的反射和透射問題。分層介質中平面電磁波的傳播和散射的研究是一個重要而活躍的研究課題。本文以代數方法對多層介質中平面電磁波的傳播特性進行分析，以波阻抗法求出了各層介質中反射系數和透射系數的理論計算公式。

1 多層介質中平面電磁波的反射和透射

設多層介質的幾何分布如圖1所示。平面電磁波從區域0向z=0的界面入射，除了入射區域0和透射區域t外，還有n層介質，全部共有n+1個分界面。本文主要分析電磁波的正入射情況，當均勻平面波垂直于平面邊界入射時，反射波和透射波的特性將與入射波的極化特性無關。事實上，此時已無法也沒有必要區分垂直極化和平行極化^［2］。同時考慮到各層介質可以是不均勻的，也可以是各項異性的。本文只限制為各區域均由雙軸介質組成，并且各層介質的主軸方向都與坐標軸方向一致，各區域的介電常數εm和磁導率μm可用下面的形式表示:

m=εmx000εmy000εmz，

μm=μmx000μmy000μmz

圖1 層狀介質的幾何分布

假設平面電磁波在xy平面內入射，此時k只有x和y分量。現在重點討論平面電磁波對多層介質表面的正入射情況，初步分析三層介質的情況。如圖2所示，設介質中有一沿z正方向傳播的平面電磁波正入射到z=0的分界面。由圖示可以看到在第一個界面產生反射波E(0)r，同時有一部分透射到區域1中，為E+(1)1。E+(1)1傳播到z=d1分界面是亦產生反射場E-(1)1和透射場E(1)2，E-(1)1沿－z方向傳播回到z=0分界面產生的反射場E+(2)1，進入區域0的透射場為E-(1)0。如此往復下去，可以知道進入區域1的波將在z=0和z=d1的兩個分界面之間來回振蕩，并且每次都有波透射到區域0和區域2中。同理可以知道在任意兩個分界面之間都有同樣的情況。從以上的分析可知在區域0中的合成場可以看作入射波在多層介質的分界面上的反射場Er(其中：α為衰減常數，β0為相位常數)。

圖2 平面電磁波的正入射

Er(x，z)=E(0)r+E－(1)0+…

=Er0αx(cos β0z+jsin β0z)

(1)

同時也可以知道相應的磁場強度Hr：

Hr(x，z)=H(0)r+H－(1)0+…

=Er0Z0(－αy)(cos β0z+jsin β0z)

(2)

同理在區域1中可以將波按+z方向合成場為E+1：

E+1=E+(1)1+E+(2)1+…

=E+10αx(cos β1z－jsin β1z)

(3)

相應的磁場強度為H+1:

H+1=H+(1)1+H+(2)1+…

=E+10Z1αy(cos β1z－jsin β1z)

(4)

將波按－z方向傳播的合成場E－1，以及相應的磁場強度H－1:

E－1=E－(1)1+E－(2)1+…

=E－10αx(cos β1z+jsin β1z)

(5)

H－1=H－(1)1+H－(2)1+…

=E－10Z1(－αy)(cos β1z+jsin β1z)

(6)

根據同樣的分析方法可得區域2中的合成場E2和相應的磁場強度H2:

E2=E(1)2+E(2)2+…=E20e－jβ2(z－d1)

(7)

H2=E20Z2αye－jβ2(z－d1)

(8)

由于平面電磁波在多層介質中傳播滿足的邊界^［8］為(一般為理想的情況):

en·(D1－D2)=ρen·(B1－B2)=0

en·(E1－E2)=0

en·(H1－H2)=0

(9)

且在邊界上的切向場連續，所以在z=0，z=d1的邊界上有如下關系：

在z=0處：

Ei(0)+Er(0)=E+1(0)+E－1(0)

(10)

Hi(0)+Hr(0)=H+1(0)+H－1(0)

(11)

在z=d1處：

E+1(d)+E－1(d)=Er(d)

(12)

H+1(d)+H－1(d)=H2(d)

(13)

由此4個方程可以求出以入射場表示的解。

繼續考慮多分層的情況，將區域m中電磁波的振幅Am和Bm通過邊界條件關系與其相鄰區域m－1和區域m+1中電磁波的振幅Am－1，Bm－1和Am+1，Bm+1聯系起來，同時定義波數矢量k，傳播常量γ，并根據它們與相位常數β的關系γ=jkc=α+jβ可得如下關系式：

Ame－jkmzdm+Bmejkmzdm

=Am+1e－jk(m+1)zdm+Bm+1ejk(m+1)zdm

(14)

kmzωμmx(Ame－jkmzdm－Bmejkmzdm)

=k(m+1)zωμ(m+1)x(Am+1e－jk(m+1)zdm－Bm+1ejk(m+1)zdm)

(15)

方程(14)、(15)是第m個界面上的電磁場滿足的一般關系。n分層介質中共有n+1個分界面和2n+2個類似的獨立方程式，可以看到從區域1到區域n中，每個區域均有兩個未知量Am和Bm，所以共有2n+2個未知量，求解2n+2個獨立方程可得:

Ame－jkmzdm=12(1+μmxk(m+1)zμ(m+1)xkmz)(Am+1e－jk(m+1)zdm+

μ(m+1)xkmz－μmxk(m+1)zμ(m+1)xkmz+μmxk(m+1)z·Bm+1ejk(m+1)zdm)

(16)

Bme－jkmzdm=12(1+μmxk(m+1)zμ(m+1)xkmz)(μ(m+1)xkmz－μmxk(m+1)zμ(m+1)xkmz+μmxk(m+1)z·

Am+1e－jk(m+1)zdm+Bm+1ejk(m+1)zdm)

(17)

以上就是用代數方法分析多分層介質的基本思路。

2 用波阻抗方法求反射系數和透射系數

由于用代數方法求解反射系數和透射系數時計算量較大，所以可以考慮用波阻抗方法來討論，同時可以利用等效傳輸原理。

2.1 求反射系數

電磁波在x，y，z方向的分量為:

Ex=1jωεHyz=kzωε(Bejkzz－Ae－jkzz)ejkxx

(18)

Hy=(Ae－jkzz+Bejkzz)ejkxx

(19)

Ez=－1jωεHyx=－kxωε(Ae－jkzz+Bejkzz)ejkxx

(20)

設z方向波阻抗Zm:

Zm=－EmxHmy=－kmzωεBmejkmzz－Ame－jkmzzAme－jkmzz+Bmejkmzz

=kmzωε1－Γm(z)1+Γm(z) (其中Γm(z)=BmAme2jkmzz)

(21)

設特征阻抗zm=kmz/ωε，由于波阻抗在分界面兩側是連續的，并計算多層問題可得特征阻抗與波阻抗的關系為:

Zn=zn－1－jzntg knzdnzn－jzn－1tg knzdnzn

(22)

最后可得反射系數:

Γn+1(dn)=zn－zn+1zn+zn+1

(23)

2.2 求透射系數

用am表示層m=1，2，…，n的上界面坐標，則有：

Hmy=［Ame－jkmz(z－am－1)+Bmejkmz(z－am－1)］ejkxx

(24)

H(m+1)y=［A(m+1)e－jk(m+1)z(z－am)+B(m+1)ejk(m+1)z(z－am)］ejkxx

(25)

由邊界條件可知在界面兩側應有Hy，Ex以及波阻抗連續，則有：

Hmy z = am = H(m + 1)y z = am

(26)

-Emx Hmy z = am =-E(m + 1)x H(m + 1)y z = am = Zm

(27)

將式(24)，式(25)代入式(26)得:

Ame-jkmzdm+Bmejkmzdm=Am+1+Bm+1

(28)

將式(24)，式(25)代入式(27)得:

BmAme2jkmzdm=Zm-zmZm-zm

(29)

Bm+1Am+1=Zm-zm+1Zm+zm+1

(30)

將式(29)，式(30)代入式(28)可得到透射系數τ:

τm=AmAm+1=(Zm+zm)(Zm+zm+1)ejkmzdm

(31)

由此可遞推出各層透射系數如下:

Tn=A1An+1=∏nm=1(Zm+zm)(Zm+zm+1)ejkmzdm

(32)

3 結 語

在本文的分析中并沒有限制介質的損耗特性，也沒有考慮介質的不均勻性、吸收及色散等，但事實上，如果介質是有損介質，所有結論都成立，但是相應的波阻抗以及反射系數和透射系數是復數^［2］。這意味著反射場和透射場之間必定有一相移。同時可以看到代數方法分析多層介質時易于理解，但是計算量較大；波阻抗法相對于代數方法計算量降低了一半，也較適合于計算機求解。

參考文獻

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［9］Kong Jin Au.Electromagnetic Wave Theory［M］.New York:John Wiley Sons，1986.

［10］畢德顯.電磁場理論［M］.北京:電子工業出版社，1985.

作者簡介 馬如慧 男，1982年出生，陜西橫山人，碩士。研究方向為信號與信息處理。

劉生春 男，教授，在讀博士。研究方向為電磁環境，電磁兼容。

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文