適于醫學圖像實時壓縮的小波基選擇

摘 要：小波編碼算法是圖像壓縮編碼算法中的一種重要方法，在進行小波變換時，小波基的選取至關重要，它直接影響到變換速度和編碼效率。在詳細分析小波基的基本性質及其與圖像編碼的關系的基礎上，選出數種典型小波基進行實驗比較，得出小波基與實時圖像壓縮編碼之間的關系。

關鍵詞：小波變換;圖像壓縮編碼;實時壓縮；小波基

中圖分類號：TP751.1 文獻標識碼：B 文章編號：1004373X(2008)1613603

Choice of Wavelet Base in Realtime Compression for Medicine Image

LI Yunfei.1，ZHU Anfu.2，ZHANG Jinli.3

(1.Weinan Teachers University，Weinan，714000，China;

2.Electronics Information College，Northwestern Polytechnical University，Xi′an，710072，China;3.Engineering College of Police Force，Xi′an， 710086，China)

Abstract：Wavelet decoder is an important algorithm for image compression.How to choose wavelet base for transform is crucial，because it impacts transform speed and coding efficiency.The characteristics of wavelet base and their effects on image coding are analyzed，and several typical wavelet bases are select to compare by means of the evaluation criteria.Through extensive experiments，the relative between wavelet and realtime image compression coding is given.

Keywords：wavelet transform;image compression coding;realtime compression;wavelet base

1 引 言

與DCT變換相比較，小波變換將原始圖像數據與小波函數以及尺度函數進行內積運算，能夠克服方塊效應的影響。恢復后的圖像誤差小，同時對不同區域采用不同編碼方法，可以較好地保持原圖的信息，達到較高的壓縮比，適于醫學圖像的實時壓縮。

在將小波變換用于圖像壓縮時，并非所有的小波基都適合圖像分解，小波基的選擇直接影響到小波變換速度和恢復圖像的效果，因此小波基的選擇是圖像壓縮中的一個關鍵問題。本文從小波基的基本性質和小波基的評價標準2個方面加以分析比較，并結合醫學圖像的特點和壓縮要求，給出適于醫學圖像實時壓縮的最佳小波基。

2 小波基的基本性質分析

2.1 正交性和雙正交性

小波基從正交性的角度劃分有2類:正交與雙正交。正交小波基對應的低通濾波器h和高通濾波器g正交。若C0為原信號的最高分辨率的抽樣點則小波分解可描述如下：cm(k)=∑n∈zh(n－2k)cm－1(n) k∈z

dm(k)=∑n∈zg(n－2k)cm－1(n) k∈z其中，g(n)=(－1).n－1h(－n+1);∑h(n)=2。 cm為第m級分級低頻子帶；dm為第m級分級高頻子帶。重建公式為：cm－1(n)=∑j∈zh(n－2j)cm(j)+

∑j∈zg(n－2j)dm(j)，n∈z 大部分正交小波基是無限支集的，相應的濾波器h和g也是無限沖激響應的，無法在計算機上實現，所以一般采用Daubechies系的緊支集正交小波作為小波基進行圖像處理，最常用的是D2和D4小波。緊支集小波一般不具有對稱性，惟一的正交對稱的小波是Haar基，但是它的局部化性能較差。

雙正交小波基由2個小波函數構成，ψ和它的對偶小波ψ_可雙正交是指低通分析濾波器h和高通重建濾波器g~正交，低通重建濾波器h~和高通分析濾波器g正交，h和g對應分解小波ψ，h~和g~對應綜合小波ψ_，對于雙正交小波分解過程與正交小波相同。目前，廣泛應用的雙正交小波基是Daubechies雙正交小波基。

2.2 緊支性

緊支性指的是若小波函數Ψ(t)在區間［a，b］外恒為零，稱該小波函數緊支在這個區問上，具有緊支性，這樣的小波基稱為緊支集小波基，區間［a，b］稱為小波基的緊支集，區間的寬度稱為小波基的支撐寬度。支撐寬度越小，小波基的局部化能力越強，小波變換的計算復雜度越低，便于快速實現。

2.3 正則性

正則性表現為小波基的可微性，是小波函數光滑程度的一種描述，對于小波函數Ψ(t)，正則性階數r越大，正則性越好，收斂越快，其鄰域的能量越集中。離散小波變換與一般的子帶分解的重要區別就在于小波濾波器必須是正則的。對小波函數Ψ(t)的正則性越好，收斂越快。因為一個系數由于量化產生的誤差在重建圖像后，可能擴展到全局誤差，該誤差與離散小波成正比，所以正則性對避免重建圖像的可見誤差不失為一個較好的性質。一般地說，當圖像的編碼的速度要求較高，質量其次時，需要選擇濾波器短的正交或雙正交小波，但選擇正交小波時，要求正則性要好，這樣才有可能得到好一點的圖像質量。對于雙正交小波，Ψ(t)和其對偶小波的正則性不一定相同，而且編碼時對圖像質量的影響也不相同。當質量要求較高時，要選擇的濾波器短的正交或雙正交小波，但選擇正交小波時，要求正則性要好。當圖像本身比較光滑時，對偶小波的正則性越好，得到的圖像質量就越高，因此，重建小波的正則性越好，得到的圖像效果就越好。

2.4 消失矩

消失矩的大小決定了用小波逼近光滑函數時的收斂率。當圖像光滑時，越大的消失矩將導致越小的小波系數，壓縮比就有可能提高；而對不光滑的圖像，將會有更多的大的小波系數。一般來說，消失距越大，壓縮比就越大，要提高壓縮比，就必須選擇消失距大的小波。

通常，小波正則性和消失矩相互作用。實驗證明在消失矩相同的情況下，正則性越好編碼的效果越好；而在正則性相近的情況下，消失矩的階數越高編碼效果越好；相對而言，小波基函數的正則性比消失矩階數大小更為重要。雙正交小波和各自的正則性和消失矩對小波變換編碼系統的影響也不相同，一般要求分解小波應有較高的消失矩，而合成小波最好有較高的正則性。

2.5 對稱性及線性相位

選擇具有對稱性或反對稱性的小波函數具有以下2個優點:其一，人類的視覺系統對邊緣附近對稱的量化誤差較非對稱誤差更不敏感；其二，如果小波有線性相位特性，在對圖像邊緣進行對稱擴展時，重構圖像邊緣部分失真較小；而非對稱濾波器的非線性相位在圖像編碼時所產生的誤差易導致邊緣錯位，形成巨大的感觀誤差。

以上分析了小波基的基本性質及其與圖像壓縮編碼的關系，得出適合圖像壓縮的小波基應具有以下性質:

(1) 對稱性(線性相位特性):小波基具有對稱性可以減少重構圖像邊緣部分失真;

(2) 正交性和雙正交性:雙正交小波基犧牲了一部分正交性，但其他性質優于正交小波，在圖像處理中一般選用雙正交小波;

(3) 正則性好:重建小波的正則性越好，得到的圖像效果就越好;

(4) 消失矩階數高:消失距越大，壓縮比就越大;

(5) 緊支性:支撐寬度越小，計算復雜度低，便于計算機快速實現。

醫學圖像作為圖像的一種，對其進行壓縮時，所選的小波基也應具有以上性質。實驗表明雙正交小波基具有對稱性，而正交小波基沒有，雙正交小波基的正則性比正交小波基稍差，而兩類小波的消失矩階數和緊支性相當。

3 評價小波基的標準

3.1 編碼增益

編碼增益在圖像的小波變換中是一項重要的指標，反映了子帶間能量的緊密度，可以作為小波變換用于圖像壓縮編碼的客觀評價標準。編碼增益Gain越大，圖像的重構效果越好，通常采用如下定義：Gain= 1K∑k-1k = 0σ.2k (∏k-1k = 0 σ.2k ).1/k其中，K為圖像經小波分解后子帶的個數；σ.2k 是第K個子帶的方差。

3.2 變換后圖像的熵

圖像經小波變換后的熵可作為衡量濾波器優劣的一種尺度，對同一圖像進行小波變換后的熵值越低，小波基無失真編碼能力越強。在有損壓縮的情況下，變換后的圖像熵值越小，失真越小，小波基越適于進行圖像變換編碼。

3.3 低頻能量與總能量之比

小波變換是一種能量守恒的變換，變換之后的能量與原始圖像的總能量相同，但更為集中，即將整幅圖像的能量集中在低頻部分，而在各高頻了帶僅有很少比例的能量，使圖像有利于壓縮。變換后圖像能量越集中，越有利于壓縮，小波基越好。在此定義另一小波基的評價參數——低頻能量與總能量的之比(E R.用百分數表示)，其定義式為:

ER=ELL/EG，其中，ELL和EG分別表示圖像變換后最低頻部分能量、圖像總能量。

3.4 重構圖像峰值信噪比

峰值信噪比(PSNR)表示2幅圖像間的差異，是圖像重構質量的衡量標準，也是評價各種圖像處理壓縮方法優劣的一項重要指標。在處理圖像和方法相同的情況下，用多種小波基進行實驗，所得的峰值信噪比即可作為評價小波基編碼性能的標準。峰值信噪比越大，重構圖像質量越好，則其選用的小波基越適合用于圖像壓縮編碼。對于灰度圖像，峰值信噪比的計算公式如下：PSNR=10log10255.2D

D=1MN∑M－1i=0∑N－1j=0［x(i，j)－x∧(i，j)］.2其中，M，N分別為圖像每行和列元素數；x(i，j)為圖像在點(i，j)的灰度值；x∧(i，j)為重構圖像在該點的灰度值。

由以上分析可得，一個好的、適于圖像壓縮的小波基不僅要具有對稱性、正則性等基本性質，還應該符合以下評價標準：

(1) 編碼增益大：評價小波基編碼性能的客觀標準，編碼增益越大，圖像重構效果越好；

(2) 變換后圖像的熵小：小波基無失真編碼能力的度量，其值越低越好；

(3) 低頻能量與總能量之比大：其值越大，變換后圖像能量集中性越好，越有利于壓縮；

(4) 重構圖像與原圖像的峰值信噪比大：重構圖像質量的評價標準，越大圖像的重構質量越好。

4 實驗結果

用標準灰度圖像Lena和一幅醫學圖像作為測試對象，圖像大小均為512×512像素。用Daubechies系正交小波基和雙正交小波基對圖像進行3級分解，然后分別求出每種小波基的變換后圖像的增益、熵、能量比和峰值信噪比。其中在計算峰值信噪比時，為簡化計算重構圖像直接用最低頻子帶得出，其他子帶設為零。因為人眼對不同頻率的信號刺激的響應不同，對低頻較敏感，而對高頻不敏感，在編碼過程中，一般對最低頻子帶進行精細量化和壓縮，高頻部分進行粗糙量化，在壓縮比較大的情況下甚至可以完全舍去，恢復時以零填充，所以只用最低頻子帶重構圖像的峰值信噪比可以作為評價小波基編碼性能的標準。

表1和表2分別為標準圖像Lena和醫學圖像測得的數據，根據這些數據和小波基的基本性質參數，可以選出適合遙感圖像實時壓縮的小波基。

表1 圖像Lena的實驗數據

小波基編碼增益熵/b/符號能量比PSNRD5/335.583.84698.6625.39D9/334.723.88098.5725.53D9/740.643.75899.2525.66D231.043.91198.8825.00D435.483.85699.0925.31

表2 醫學圖像的實驗數據

小波基編碼增益熵/b/符號能量比PSNRD5/323.344.75596.5721.96D9/322.624.82698.5221.79D9/723.064.69598.0322.06D218.134.89697.1321.48D420.364.83297.5521.91

從表中數據可以看出，對于圖像Lena雙正交小波基D9/7各項指標均占首位，D5/3次之，其他兩種較差，正交小波基D4優于D2，但不如雙正交小波基，與小波基性質分析中結論相符，D9/7小波基較適于圖像壓縮。

5 結 語

本文在詳細分析小波基的基本性質及其與圖像編碼的關系，選出數種典型小波基進行實驗比較，從對醫學圖像實驗所得數據看，D9/7小波基的綜合性能占首位，但D5/3小波基的性能有所提高，正交小波基D2和D4的實驗結果較差。另外小波的緊支性決定了小波變換過程的計算量，緊支性越好，支撐寬度越小，計算量越小，有利于實時壓縮的實現。D5/3小波基的支撐寬度明顯小于D9/7小波基。因此，D9/7小波基適合一般的圖像壓縮，而在有實時性要求的情況下D5/3小波基較為適合。

參 考 文 獻

［1］柯麗，黃廉卿.適于遙感圖像實時壓縮的小波基的選擇［J］.光學技術，2005，31(1):7780，83.

［2］Said A.Pearlman W A.A New Fast and Efficient Image Codec Based on Set Partitioning in Hierarchical Trees\\.IEEE Transaction on Circuits and System for Video Technology，1996，6:243250.

［3］Moreales E，Shih F Y.Wavelet Coefficients Clustering Using Morphological Operations and Pruned Quadtress.Pattern Recognition，2003，33:1 6111 620.

［4］Daubechies I.Orthogonal Bases of Compactly Supported Wavelets.Comm.Pure Appl，Math，1988，41:909966.

［5］汪國有，鄒光宇，王文濤.基于小波系數結構特征的高倍率圖像壓縮方法［J］.華中科技大學學報，2005.

作者簡介 李云飛 男，1974年出生，甘肅鎮原人，碩士，渭南師范學院計算機科學系講師。主要研究方向為計算機與智能信息處理。

朱安福 男，1972年出生，河南永城人，博士生。從事信息融合、目標識別與跟蹤技術等研究。

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