掩模的矩陣乘法表示及其應用

摘 要：通過對掩模的作用原理進行研究，首先給出了行列成比例的二維掩模的矩陣乘法表示，進而得到了掩模的矩陣乘法實現方法，該方法不僅提高了掩模實現的速度，而且避免了處理圖像時的加邊運算；其次，提出了基于邊界的掩模概念，并給出了相應的矩陣乘法表示，在保持原圖像大小不變的前提下，避免了算術均值掩模處理后圖像的黑邊現象;最后，仿真實驗驗證了以上結論的正確性。盡管以上結論是針對行列成比例的掩模得到的，但仍不失一般性，因為大部分的掩模均可轉化為行列成比例的掩模的和或差。

關鍵詞：掩模；數字圖像處理；黑邊;矩陣乘法

Matrix Multiplicative Representation of Mask and Its Application

LUO Shousheng，SONG Jinping

(Institute of Mathematics，College of Mathematics and Information Science，Henan University，Kaifeng，475004，China)

Abstract：Through studying the principle of mask，firstly it gives the matrix multiplicative representation of mask and the fast implementing method of mask which largely improve the speed of mask implementing and avoid the operation of adding edge before processing under keeping the size of the original image.Secondly，it proposes a concept of edge-based mask，and gives the matrix multiplicative representation correspondingly that can avoid black edge in the processed image by the mean mask.The results of digital experiments indicate the involved conclusion.Although this conclusion is obtained by a special kind of masks that row and column are proportioned，it is also universal.Because most of masks can be represented by the summation or difference of the proportioned masks.

Keywords：mask;digital image processing;black edge;matrix multiplicative

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1 引 言

在進行圖像去噪、增強等處理時，常需要對圖像進行低通濾波、高通濾波。其傳統的像素域實現方法，是定義一個固定大小的掩模

^［1-4］，如算術均值掩模、拉普拉斯掩模、梯度掩模，并讓其在圖像中逐像素點移動，即相當于掩模與圖像做卷積，達到對圖像處理的目的。由于傳統的二維卷積是通過雙重循環來實現的，其速度較慢。而且在邊界點附近，會出現掩模的一部分溢出圖像之外的問題。常用的解決辦法，是在圖像的周圍添加適當的常值(一般為零值)或用鏡面反射方法補出圖像周圍相應的值，這兩種方法都需要加邊操作。另外，對算術均值掩模來說，第一種方法還會導致處理后的圖像出現黑邊現象(實驗1)，尤其當掩模較大時，黑邊現象尤為明顯^［1］，從而影響圖像的處理質量和對圖像的進一步分析。

我們知道向量的卷積，可以表示成矩陣的乘積。通過對大量的掩模觀察得知，常用的掩模都是行列成比例的，它們可以分解為一個列向量和一個行向量的乘積^［5］，由此本文給出了掩模的矩陣乘法表示，進而得到了掩模的矩陣乘法實現方法，且避免了處理前對圖像的加邊運算。其實一般的掩模可以分解為行列成比例掩模的和或差(如Laplace掩模)，從而轉化成行列成比例的掩模進行處理。本文針對算術均值掩模處理后圖像的黑邊現象，提出了基于邊界的掩模概念，并給出了相應矩陣乘法表示和矩陣乘法實現方法。

2 掩模卷積的矩陣乘法表示及基于邊界的掩模