一種多功能映射網(wǎng)格分方法

摘 要：在有限元當(dāng)中網(wǎng)格（包括影射網(wǎng)格和自由網(wǎng)格）劃分對(duì)于計(jì)算結(jié)果的影響至關(guān)重要。提出一種多功能映射網(wǎng)格劃分方法，該方法以平面的網(wǎng)格劃分為基礎(chǔ)，曲面和某些特殊實(shí)體的網(wǎng)格可以通過其投影面或基準(zhǔn)面的網(wǎng)格劃分?jǐn)?shù)據(jù)自動(dòng)生成。算例表明，該方法結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，適用范圍廣，通過合理規(guī)劃可以得到質(zhì)量良好的網(wǎng)格。

關(guān)鍵詞：有限元;網(wǎng)格生成;四邊形;六面體

中圖分類號(hào)：TP391文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B

文章編號(hào)：1004-373X(2008)08-070-03[HJ1*5]

A Multifunctional Mapped Mesh Method

ZHANG Shaojie1，CHEN Jiang1，LI Peng2，LING Tao2，LIU Haowu1

(1.College of Hydrology and Water Resources，Sichuan University，Chengdu，610065，China;

[JZ]2.College of Architecture Environment，Sichuan University，Chengdu，610065，China)[HJ1*5]

Abstract：The mapped mesh is very important to the result in the finite element.A multifunctional mapped mesh method based on planar mesh is presented in this paper，the mesh of surface and some special solid can generate automatically from mesh data of its projection or datum plane.The example shows that this method has a property of simple structure，extensive applicability，and can obtain inerratic shape by proper arrangement.

Keywords：finite element;mesh generation;quadrangle;hexahedron

有限元法是當(dāng)今最有效的數(shù)值計(jì)算方法之一，其應(yīng)用范圍涉及航空航天、土木工程、機(jī)械制造等眾多領(lǐng)域，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，其優(yōu)越性更加突出。一個(gè)完整的有限元計(jì)算包括前處理、求解、后處理3個(gè)部分，其中前處理約占整個(gè)計(jì)算周期的70%，求解占10%，后處理占20%，方便、快捷的前處理方式必然縮短整個(gè)計(jì)算周期以提高效率。前處理一般包括建立模型、定義材料幾何參數(shù)、網(wǎng)格劃分、定義邊界條件等，就網(wǎng)格劃分而言，大體可分為自由網(wǎng)格劃分和映射網(wǎng)格劃分，目前自由網(wǎng)格劃分的方法主要有：Delaunay三角化方法^[1]、前沿生成法^[2]、Paving單元法^[3，4]等。這些方法有些已用在商品化的有限元軟件中，發(fā)揮了較大作用。而有限元計(jì)算中普遍推崇的還是映射網(wǎng)格劃分，本文提出一種多功能的映射網(wǎng)格劃分方法，并用程序?qū)崿F(xiàn)平面、曲面、特殊實(shí)體的一體化映射網(wǎng)格劃分。

1 算法簡(jiǎn)介

本節(jié)首先介紹平面的映射網(wǎng)格劃分方法，然后給出曲面及特殊實(shí)體的處理方式。

1.1 平面的映射網(wǎng)格劃分

1.1.1 分割母域

映射網(wǎng)格劃分對(duì)劃分區(qū)域均有一定限制，本文所提出的方法要求：

① 劃分區(qū)域?yàn)樗倪呅危华?/p>

② 四邊形的某對(duì)邊為直邊；

③ 四邊形的另一對(duì)邊可以為任意曲線，但該曲線在x或y軸上的投影不重疊。對(duì)于復(fù)雜平面，需要將母域劃分成滿足以上要求的子域，其分割原則一般為：

(1) 無孔母域

設(shè)母域外包線的間斷點(diǎn)個(gè)數(shù)為M，在母域中設(shè)置一個(gè)N邊形，當(dāng)M≤4時(shí)，取N=4；當(dāng)M>4時(shí)，取N=M，將N邊形劃分成滿足要求的子域，在母域外包線上選N個(gè)點(diǎn)與N邊形的N個(gè)角點(diǎn)相連，選點(diǎn)的原則為優(yōu)先選擇間斷點(diǎn)，若間斷點(diǎn)不夠，則視具體情況添加連續(xù)點(diǎn)，母域經(jīng)過以上處理后所得子域?qū)⑷繚M足條件①和②，但不一定滿足條件③，對(duì)不滿足條件③的子域再做相應(yīng)劃分即可，如圖1(a)所示。

圖1 分割母域

(2)有孔母域

直接連接母域外包線和內(nèi)包線的間斷點(diǎn)，若間斷點(diǎn)不匹配或分割效果不好則適當(dāng)添加連續(xù)點(diǎn)，如圖1(b)所示。

對(duì)于更一般的情況可以歸結(jié)為以上兩種情況的組合。

1.1.2 子域離散

經(jīng)過以上劃分后的母域已變成全部滿足要求的子域，子域的劃分步驟為：

(1)若子域中含有曲邊則首先離散該曲邊及其對(duì)邊，若全為直邊則任選一對(duì)邊離散。如圖2所示，設(shè)該條曲邊所確定的函數(shù)為y=f(x)，其劃分?jǐn)?shù)為n，比例因子為r(r>0)，起點(diǎn)和終點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(xn+1，yn+1)，若曲邊在x軸的投影無重疊，則首先用式（1）確定各離散點(diǎn)的x坐標(biāo)，再由y=f(x)確定離散點(diǎn)的y坐標(biāo)，反之，則先確定離散點(diǎn)的y坐標(biāo)，由x=f－1(y)確定離散點(diǎn)的x坐標(biāo)。當(dāng)曲邊為圓弧時(shí)可在極坐標(biāo)系下離散，這樣將得到更好的網(wǎng)格。

當(dāng)r=1時(shí):

xi=x1+(i－1)#8226;(xn+1－x1)/n

當(dāng)r≠1時(shí):

xi=x1+(1－r(i－1))#8226;(xn+1－x1)/(1－rn)

(i=1，2...n+1)[JY](1)

(2)經(jīng)過以上步驟后，子域中的兩對(duì)邊分別離散為n+1個(gè)點(diǎn)，依次連接這n+1對(duì)點(diǎn)得n+1條直線，然后再用步驟(1)的方法分別離散這n+1條直線。離散的同時(shí)，記錄節(jié)點(diǎn)信息和單元信息，這樣即完成了一個(gè)子域的網(wǎng)格劃分，如圖3所示。

[XC<39t2.tif>]

圖2 離散曲線

[XC<39t3.tif>]

圖3 子域的劃分

(3)按步驟(1)，(2)離散其他子域，對(duì)子域見的公共節(jié)點(diǎn)實(shí)行節(jié)點(diǎn)合并操作，以避免產(chǎn)生多余的節(jié)點(diǎn)。

1.2 曲面處理方法

對(duì)于曲面，首先將其投影到某個(gè)平面，設(shè)該平面為局部坐標(biāo)系x′y′z′的x′y′平面，若投影面有重疊，則將曲面適當(dāng)劃分為子域，直到各子域在x′y′平面的投影均無重疊，然后對(duì)各子域的投影平面劃分網(wǎng)格，得投影平面的網(wǎng)格劃分?jǐn)?shù)據(jù)，根據(jù)子域的曲面方程z′=f(x′，y′)可得各子域離散點(diǎn)的z′坐標(biāo)，再按坐標(biāo)變換公式將局部坐標(biāo)系x′y′z′下的坐標(biāo)變換到總體坐標(biāo)系。

1.3 實(shí)體處理方法

對(duì)于某些特殊實(shí)體，其網(wǎng)格可通過其基準(zhǔn)面的網(wǎng)格劃分?jǐn)?shù)據(jù)自動(dòng)生成，基準(zhǔn)面可以是平面也可以是曲面。如棱柱體可通過基準(zhǔn)面的拖拉生成，有旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸的實(shí)體可通過基準(zhǔn)面的旋轉(zhuǎn)生成，一般性的實(shí)體，只要對(duì)上述方法稍加擴(kuò)展也不難得到。

1.3.1 拖拉網(wǎng)格

首先得到基準(zhǔn)面的網(wǎng)格劃分?jǐn)?shù)據(jù)，即節(jié)點(diǎn)信息和單元信息，設(shè)基準(zhǔn)面上的節(jié)點(diǎn)總數(shù)為nn，單元總數(shù)為ne，第j個(gè)節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)為(xj，yj，zj)，第k個(gè)單元的節(jié)點(diǎn)組成為{nk1，nk2，nk3，nk4}。基準(zhǔn)面沿曲線L拖拉，曲線L的方程為z=f(x，y)，L在x，y，z軸上的投影線至少有2根不重疊，若不滿足此條件則須將曲線L分段，然后分段拖拉基準(zhǔn)面，以下討論L在x，y軸的投影線不重疊的情況，其他情況類似。設(shè)L的起點(diǎn)和終點(diǎn)坐標(biāo)分別為(xs，ys，zs)和(xt，yt，zt)，拖拉份數(shù)為n，比例因子為r(r>0)，拖拉后得n+1層節(jié)點(diǎn)和n層單元。第i層節(jié)點(diǎn)上與基準(zhǔn)面的j節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)編號(hào)為(i－1)#8226;nn+j，坐標(biāo)為(xij，yij，zij)，其計(jì)算公式為式（2）；第l層單元上與基準(zhǔn)面k單元相對(duì)應(yīng)單元的第m個(gè)節(jié)點(diǎn)為nlkm，其計(jì)算公式為式（3）。

1.3.2 旋轉(zhuǎn)網(wǎng)格

旋轉(zhuǎn)網(wǎng)格的處理方法與拖拉網(wǎng)格相似，首先得到各層節(jié)點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)角度，再轉(zhuǎn)換成節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角度為360°時(shí)。第n+1層節(jié)點(diǎn)與第1層節(jié)點(diǎn)重合，需要執(zhí)行節(jié)點(diǎn)合并操作，限于篇幅不再累述。

當(dāng)r=1時(shí):

[JB（{]xij=xj+(xt－xs)#8226;(i－1)/n

yij=yj+(yt－ys)#8226;(i－1)/n[JB）]

當(dāng)r≠1時(shí):

[JB（{]xij=xj+(xt－xs)#8226;(1－r(i－1))/(1－rn)

yij=yj+(yt－ys).(1－r(i－1))/(1－rn)[JB）][JY](2)

zij=f(xij，yij) (i=1，2…，n+1;j=1，2，…，nn)

[JB（]當(dāng)m≤4時(shí):nlkm=nkm+(l－1).nn

當(dāng)m>4時(shí):nlkm=nk(m－4)+l.nn

(l=1，2，…，n;k=1，2，…，ne;m=1，2，…，8)[JB）][JY](3)

2 算 例

按照以上算法用Matlab編制映射網(wǎng)格劃分程序，圖4～圖7分別給出用此程序劃分的各種類型網(wǎng)格，從圖中可以看出只要通過合理的規(guī)劃，該方法能得到質(zhì)量良好的各種網(wǎng)格，其適用范圍廣。

圖4 平面網(wǎng)格

3 結(jié) 語(yǔ)

本文提出一種多功能映射網(wǎng)格劃分方法，并用Matlab編制了網(wǎng)格劃分程序，實(shí)現(xiàn)了平面、曲面、特殊實(shí)體的一體化網(wǎng)格劃分。相應(yīng)的算例表明，該方法結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，適用范圍廣，通過合理規(guī)劃可以得到質(zhì)量良好的網(wǎng)格。

圖5 曲面網(wǎng)格

參 考 文 獻(xiàn)

［1］Lo S H.Generation of Highquality Gradation Finite Element Mesh［J］.Engineering Fracture Mechanics，1992，41(2):191202.

［2］ George P L，Seveno E.The Advancingfront Mesh Generation Method Revisited［J］.International Journal for Numerical Methods in Engineering，1994，37:3 6053 619.

［3］ Blacker TED D，Stephenson M B.Paving:A New Approachto Automated Quadrilateral Mesh Generation［J］.Interna[CD*4]

tional Journal for Numerical Methods in Engineering，1991，31(4):811847.

［4］ Roger J Cass，Steven E Benzley，Ray J Meyers，et al.Generalized 3D Paving:An Automated Quadriclateral Surface Mesh Generation Algorithm［J］.International Journal for Numerical Methods in Engineering，1996，36(9):1 4751 489.[HJ0]

作者簡(jiǎn)介 張少杰男，1983年出生，山東青島人，碩士研究生。主要從事工程檢測(cè)與計(jì)算機(jī)方法的研究。

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文