基于χ^２－散度的圖像閾值法

摘 要：圖像分割是圖像處理中的重要問題，通常的圖像分割法包括閾值法、邊緣檢測法、區域跟蹤法等。其中，閾值法是圖像分割的一種重要方法，在圖像處理與識別中廣泛應用。考慮到交叉熵閾值法的計算時間量較大的問題，提出一種基于χ2-散度的圖像閾值化分割新準則。實驗結果表明，這里提出的圖像分割準則是可行的，且計算所需時間相對交叉熵閾值法要小很多，非常適合于對實時性要求較高的應用場合。

關鍵詞：圖像分割；閾值法；交叉熵；χ2-散度

中圖分類號：TP391文獻標識碼：B文章編號：1004373X(2008)2014803

Image Thresholding Method Based on χ2-Divergence

ZHAO Yong1，2

(1.Xidian University Xi′an，710071，China；2.Xi′an Institute of Post and Telecommunications，Xi′an，710121，China)

Abstract：Image segmentation is an important problem of image processing.In generally，the methods of image segmentation include threshold value，brim detection，areal tracing and so on.In these methods，thresholding is an important method of image segmentation and is used in the image processing f_or many applications. Considering mutual entropy-based image thresholding method with a great deal of computation time. The new thresholding criterion based on χ2-divergence is proposed in this paper. Experimental results show χ2-divergence-based image thresholding method is feasible，and its computation time is much less than that of thresholding based on mutual entropy.It is very suitable f_or the real-time image processing.

Keywords：image segmentation;thresholding method;mutual entropy;χ2-divergence

圖像分割是圖像處理和前期視覺中的基本技術，是大多數圖像分析及視覺系統的重要組成部分，也是成功進行圖像分析、理解與描述的關鍵步驟，歷來受到國內外有關學者的高度重視。

從20世紀60年代以來，國際上學者們提出了眾多的圖像分割方法^［1-3］。其中選取灰度直方圖閾值的重要方法是“模型匹配”法，即認為灰度直方圖構成的概率模型和圖像的“理想模型”的匹配應是最佳的。基于這種觀點，Lee^［4］將交叉熵（即相對熵）引入圖像分割中引起了很多學者的關注^［5，6］。印度學者Pal^［7］在肯定LiLee法有效的前提下，認為該方法存在概念上的錯誤，不能稱為最小交叉熵閾值法。文獻［8］從理論上證明了LiLee法是符合最小交叉熵概念的，從而為最小交叉熵方法的廣泛應用奠定了堅實的理論基礎。但是，交叉熵閾值法因其存在對數運算，導致其計算量較大的不足，不便許多實時場合的廣泛應用。本文首先采用χ2-散度來度量兩個概率分布的差異程度^［9］，其次研究了它與交叉熵之間的緊密關系，最后提出了基于χ2-散度的圖像閾值化分割準則。實驗結果表明，基于χ2-散度的圖像閾值化分割準則是可行的，且計算所需時間量比交叉熵閾值法要少。因此，在實時性要求較高的場合有廣闊的天地。

1 χ2-散度及其性質

為了度量2個離散概率分布P=(p1，p2，…，pn)（pi>0且∑ni=1pi=1）和Q=(q1，q2，…，qn)（qi>0且∑ni=1qi=1）的差異程度，在經典信息論中引入交叉熵的定義。即:

K(P||Q)=∑ni=1piln(piqi)(1)

它具有如下典型性質：

(1) 若任意概率分布P和Q，有K(P||Q)≥0；

(2) 若概率分布P和Q完全相同，則：

K(P||Q)=0

考慮到交叉熵式(1)中含有對數運算，其計算時間量比較大，不便實時性要求較高場合的使用。為此，本文采用χ2-散度^［9］來度量2個概率分布的差異性程度。即:

χ2(P||Q)=∑ni=1(pi－qi)2qi=∑ni=1p2iqi－1(2)

它也具有交叉熵相同性質，這里省略其敘述。

上述χ2-散度沒有對數、指數運算，其計算量相對交叉熵要小，在實際應用中會比交叉熵更加方便。另外，它與交叉熵K(P||Q)之間滿足如下的不等式關系。

0≤K(P||Q)≤χ2(P||Q)(3)

有關不等式(3)的具體證明過程如下：

證明：根據不等式ln(x)≤(x－1)(x>0)，得:

K(P||Q)=∑ni=1pilnpiqi

=－∑ni=1piln(qi/pi)≥∑ni=1pi(1－qi/pi)=0

即K(P||Q)≥0成立。

同理，運用不等式ln(x)≤(x－1)(x>0)，得:

K(P||Q)=∑ni=1pilnpiqi≤∑ni=1pipiqi－1

=∑ni=1p2iqi－1=χ2(P||Q)

即K(P||Q)≤χ2(P||Q)成立。

綜上所述，不等式0≤K(P||Q)≤χ2(P||Q)成立。

證畢。

2 基于χ2-散度的閾值法

設F=［f(x，y)］M×N表示大小為M×N的數字圖像，圖像灰度變化范圍為0~L-1。圖像中位置(x，y)處的像素灰度值記為f(x，y)。其圖像的一維直方圖h(i)(i=0，1，…，L－1)表示圖像像素的灰度值分布情況。

h(i)=1M×N∑Mx=1∑Ny=1δ(f(x，y)－i)，i=0，1，…，L－1

其中h(i)滿足∑L－1l=0h(l)=1，函數δ(x)=1，x=00，x≠0。

在假設圖像分割閾值t時，將原圖像分割成目標和背景2部分。其中目標為O={0，1，2，…，t}，背景為B={t+1，t+2，…，L－1}。這里首先引入文獻［8］中定義的兩個離散概率分布F和G，以便推導基于χ2-散度的圖像閾值化分割準則。

離散概率分布F為：

fi=x(i)·h(i)∑L－1l=0x(l)·h(l)，i=0，1，…，L－1(4)

其中x(i)是圖像灰度級i的函數（x(i)>0）。

離散概率分布G為：

gi=h(i)∑tl=0h(l)·∑tl=0［x(l)h(l)］∑L－1l=0［x(l)h(l)］，0≤i≤t

h(i)∑L－1l=t+1h(l)·∑L－1l=t+1［x(l)h(l)］∑L－1l=0［x(l)h(l)］，t+1≤i≤L－1(5)

其中t是圖像分割選取的閾值參數（0

因∑L－1l=0h(l)=1，從而∑L－1l=0gi=∑tl=0gi+∑L－1l=t+1gi=1，這說明G是嚴格的離散概率分布。

將兩個離散概率分布F和G代入交叉熵公式(1)，并且考慮函數x(i)=i時，就可以得到文獻［4］的圖像分割準則。即:

t*=argmin0

其中μ0(t)=∑ti=0h(i)·i∑ti=0h(i)，μ1(t)=∑L－1i=t+1h(i)·i∑L－1i=t+1h(i)。若將兩個離散概率分布F和G代入χ2-散度公式(2)，并且考慮當函數x(i)=i時，就可以得到下面新的圖像閾值化分割準則。即:

t*=argmin0

3 實驗及結果分析

本文采用典型圖片測試了基于χ2-散度的閾值化分割準則的可行性，并與交叉熵閾值法進行實驗比較。由于篇幅有限，本文僅給出6個實驗結果。

從圖1來看，lena圖片采用兩種方法的分割效果基本相當。其中交叉熵法所需時間為0.772 0 s，χ2-散度法所需時間為0.010 0s。

從圖2來看，攝影師圖片采用兩種方法的分割效果相差不大。其中交叉熵法所需時間為0.762 0 s，χ2-散度法所需時間為0.020 0 s。

圖1 lena圖片及兩種閾值法的分割結果

圖2 攝影師圖片及兩種閾值法的分割結果

從圖3來看，輪胎圖片采用兩種方法的分割效果基本相當。其中交叉熵法所需時間為0.881 0 s，χ2-散度法所需時間為0.020 0 s。從圖4來看，小男孩圖片采用χ2-散度法得到的分割效果好于交叉熵法。其中交叉熵法所需時間為0.811 0 s，χ2-散度法所需時間為0.010 0 s。

圖3 輪胎圖片及兩種閾值法的分割結果

圖4 小男孩圖片及兩種閾值法的分割結果

從圖5來看，懷表圖片采用兩種方法的分割效果均相同。其中交叉熵法所需時間為0.731 0 s，χ2-散度法所需時間為0.020 0 s。從圖6來看，杯子圖片采用χ2-散度法獲得的分割效果好于交叉熵法。其中交叉熵法所需時間為0.871 0 s，χ2-散度法為0.011 0 s。

4 結 語

本文提出基于χ2-散度的閾值化分割準則。實驗結果表明，本文方法是可行的，且對有些圖片較交叉熵法能獲得更好的分割效果。另外，χ2-散度閾值法的所需時間相對交叉熵法有明顯的減少，它非常適合實時性要求較高的場合。

圖5 懷表圖片及兩種閾值法的分割結果

圖6 杯子圖片及兩種閾值法的分割結果

參考文獻

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作者簡介 趙 勇 男，1979年出生，工程師，在讀碩士研究生。從事自動化系統與信息處理的教學和科研工作。

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文