兩種實現寬帶信號空間重采樣測向算法的比較

摘 要：空間重采樣是一種用于寬帶信號的處理方法。由于寬頻帶的緣故，使得不同頻率的信號陣列流行不同，適用于窄帶信號的處理方法就不能直接用于寬帶信號。為了把不同頻率的信號子空間對齊，空間重采樣的方法通過將接收到的陣列信號通過變換得到滿足要求的虛擬陣列輸出，從而達到聚焦的效果，基于聚焦思想的算法保持了其對相干信號的處理能力。可以通過不同的方法來實現空間重采樣，論述了空間重采樣的基本原理以及兩種不同的實現方法，并通過仿真比較了兩種算法的測向性能。

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關鍵詞：空間重采樣；寬帶信號；方位估計；FFT；濾波器

中圖分類號：TN911.83 文獻標識碼：B

文章編號：1004-373X(2008)09-145-05

Comparision of Two Different Methods for Spatial Resampling onWideband Signal′s DOA

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TIAN Ye1，2，ZHAO Chunhui2

(1.Harbin Normal University，Harbin，150500，China;2.College of Information Communication Engineering，

Harbin Engineering University，Harbin，150001，China)

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Abstract：Spatial resample is a kind of algorithm used to process wideband signals.Due to the wide band，as the different frequency the array manifold is different，that those methods we used in single frequency circumstances could not be used in wideband situations any more.In order to make the signal subspaces alike (the same is what we subject to)，we receive virtual array outputs which are transferred from the inputs received by receiving array through spatial resample processing.Basing on focus algorithm，the algorithm remains the ability of handling coherent signals.There are different ways to implement spatial resample.The basic principle of spatial resample here is discussed and two different means is proposed.At last the two through emulations are compared.

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Keywords：spatial resample;wide-band signal;DOA;FFT;filter

1 引 言

陣列信號處理在近幾十年來得到迅速的發展。空間譜估計作為陣列信號處理的重要分支也得到了長足的發展，成為了陣列信號處理學科的重要發展方向。

寬帶信號是雷達、聲納及通信中常遇到的一類特殊信號。對寬帶信號的處理，在子空間思想的基礎上衍生出了非相干信號子空間法(Incoherent Signal-Subspace Method)和相干信號子空間法(Coherent Signal-Subspace Method，CSM)。非相干信號的方法先將寬帶信號分解成若干個窄帶信號，再對于每個子帶應用窄帶高分辨算法進行方位估計，最后把各子帶的估計結果合成為最后的寬帶測向結果。這種方法的缺點是不能解相干源，而且分辨能力較低。相干信號子空間法(CSM)通過聚焦將各子帶的信號聚焦到一個子空間中，使得子空間的維數等于寬帶信號源的個數，從而可以使用窄帶的方法進行方位估計，具有解相干的能力，而且可以顯著地提高分辨率。但是這類算法中很多都需要對方向進行預估計，而且最終的測向結果很大程度上受到預估計準確性的影響。

目前對窄帶信號的方位估計的算法的研究已經非常成熟，如何使得這些適用于窄帶信號的成熟的算法也能用于寬帶信號，從而改善寬帶信號的測向性能。從寬帶信號的特性可知，由于帶寬較寬的緣故相對窄帶的情況引入了測向模糊的問題，使得窄帶的測向算法不能直接適用于寬帶信號。為了利用已成熟的優良的窄帶測向算法，結合寬帶信號的特點，就必須對寬帶信號在保證信息無損失的前提下進行一定形式的變換使之能滿足窄帶測向算法的要求。從而，對寬帶信號應用測向算法前進行的變換處理就成為了我們研究的內容。

為了避免初始方位角的估計，文獻［1］提出了廣義陣列流行內插算法，引入了指向矢量的貝塞爾函數近似表達式，從而將方向矩陣變換成兩部分，一部分與方向有關，一部分與頻率有關，因此在求聚焦變換矩陣時不需要進行方向預估計。但是該算法在用貝塞爾函數表示指向矢量時引入了誤差，而且要獲得聚焦矩陣需要在每個子帶內進行特征值分解運算，因此運算量很大。文獻［2，3］提出了空間重采樣的方法來實現聚焦，空間重采樣的方法不需要方向預估計，而且降低了運算量。

本文分析了空間重采樣的算法原理，并且討論了實現空間重采樣的兩種不同方法，最后通過仿真實驗以文獻［1］提出的廣義陣列流行內插算法作為參考驗證了算法的有效性，并且對討論的兩種空間重采樣算法的性能進行了比較。

2 信號模型

考慮由M個陣元組成的均勻線陣，各陣元間距為d，為避免相位模糊，d小于入射信號最高頻率所對應波長的1/2。空間中有P個遠場平面波，占有相同的帶寬且為帶寬與中心頻率可比的寬帶信號，其入射方向分別為θ1，…，θP。則第m個傳感器上接收到的信號可表示為：



xm(t)=∑Pp=1sp(t+(m－1)dsin θp/c)+nm(t)

(1)



其中：sp(t)為p方向入射的寬帶信號，nm(t)為加性噪聲，c為波的傳播速度。通過DFT變換得到其窄帶fk處對應的頻域表達式為：





xm(fk)=∑Pp=1exp(j2πfk(m－1)dsin θp/c)+nm(fk)

(2)



那么陣列的輸出用矩陣的形式可表示為：

am(fk)=［1，exp(j2πdfksin θm/c)，…，

exp(j(M－1)2πdfksin θm/c)］T

(5)



式中：c為聲速，θm為第m個目標的入射角:



[WTHX]S[WTBX](fk)=［s1(fk)s2(fk)…sP(fk)］T

(6)



對寬帶信號，整個帶寬內被分成K個窄帶，在信號與噪聲相互獨立的條件下，子帶的協方差矩陣表示為[WTHX]R[WTBX](fk)。



3 空間重采樣算法

由上述式(4)和式(5)可以得知，對于不同的頻率會得到不同的方向矩陣，根據窄帶Music算法的原理可以知道，那么對應不同頻率處的信號張成的信號子空間就不同，相關信號子空間的聚焦方法就是通過將陣列的輸出進行線性變換，使帶寬范圍內不同頻率處的方向矩陣保持常數。用[WTHX]X[WTBX](fk)和[WTHX]A[WTBX](fk，a)分別表示頻率為fk陣列的輸出和方向矩陣，用f0表示聚焦頻率，那么相關信號子空間聚焦方法就是要得到聚焦變換矩陣[WTHX]T[WTBX](fk)使得下式成立：



A(fk，a)=[WTHX]T[WTBX](fk)[WTHX]A[WTBX](fk，a)=[WTHX]A[WTBX](f0，a)

(8)



那么，寬帶信號的協方差可以表示為:



R(f0)=∑J[]k=1[WTHX]T[WTBX](fk)[WTHX]R[WTBX](fk)[WTHX]T[WTBX]H(fk)

(9)



上述聚焦的思想就是通過對陣列接收到的信號進行線性變換得到相同的信號子空間，直觀地說就是要使得接收到的不同頻率信號得到相同的方向矩陣。基于這種思想分析式(4)可知要使得[WTHX]A[WTBX](fk)=[WTHX]A[WTBX](f0)成立，既要am(fk)=am(f0)，由式(5)可知只要滿足:



dfk=常數

(10)



就能滿足聚焦算法的要求。那么陣元間距應該是頻率的函數d應該是一個頻率的函數，表示為d(fk)。那么有:



d(fk)fk=d0f0

(11)



則:



d(fk)=d0f0/fk

(12)



其中d0表示真實陣元間距。

為了得到相同的方向向量，空間重采樣的基本思想就是通過變換陣元間距d(fk)來得到。真實的測向陣列陣元間距是固定不變的，對應不同頻率采用不同間距的陣列來接收也是不現實的。也就是說要通過物理的方法來得到相同的方向矩陣是不可取的，那么就需要對接收到的陣列信號用合理的方法進行處理，希望經過處理后能得到與真實陣元間距不同的虛擬陣元(對應頻率為fk時陣元間距為d(fk))的輸出。這樣通過調整陣元間距的方法實質上與聚焦的思想是一致的，只是達到聚焦的目的與上述信號子空間方法不同。

調整陣元間距得到虛擬陣元輸出可以通過不同的變換方法來得到，下面分析兩種基于不同原理的變換算法：

數字濾波器的方法；

基于FFT變化的方法。

通過第4部分的仿真實驗得出的結果比較了兩者的測向性能。

3.1 數字濾波器的空間重采樣算法

首先，建立一個空間頻率的概念。我們研究均勻分布的線性陣列的情況，把同一時刻M個陣元的輸出假設為一離散的時間序列，那么不同的陣元間距就對應了不同的信號頻率，稱為空間頻率。采用空間頻率的概念，從空間重采樣的原理來看，就是要通過一定的處理來改變空間頻率。文獻［2］中對頻率映射濾波器(frequency-mapping filter)進行了研究。用{xn}和{yn}分別表示輸入和輸出，h(n，m)表示濾波器的沖擊響應，則可得：



yn=∑mh(n，m)xm

(13)



由Z變換和Z反變換可以得到:



yn=1/2πj∫X(z)Q(n，z)/zdz

可見，此時的傳遞函數為δ函數，對于一確定的輸入而言，該濾波器將頻率為φ處的信號移到了Ψ=g(φ)處。我們稱這種濾波器為頻率映射濾波器。

從上述濾波器的原理可以看到，通過該濾波器的處理，輸入信號的頻率發生了變化。這樣的結果正是空間重采樣所需要的，將空間信號作為輸入得到變換了空間頻率的輸出信號。空間頻率的變換既是陣元間距的變換，從而得到虛擬陣列輸出。用hk(n，m)表示時頻fk處濾波器的沖激響應，聚焦變換可以表示為：



x(n，fk)=∑[DD(]∞[]m=－∞[DD)]hk(n，m)x(m，fk)

(20)



文獻［4］研究得到了使重采樣絕對誤差最小的理想濾波器，沖擊響應為：





h0k(n，m)=1πsin(Ψk(w0n/wk－m))/(w0n/wk－m)

(21)



其中Ψk=min(π，(w0/wk)π)。

理想的重采樣濾波器需要無限長的陣列，真實陣列陣元個數是有限的，文獻［4］中的研究表明最佳的有限長重采樣濾波器表示為

h+k(n，m):



h+k(n，m)=h0k(n，m)，(m=－K，…，K)

(22)



陣元數M滿足：M=2K+1。為了避免大的采樣誤差，輸出端可選擇的最大陣元數為M=2K+1，K=round(Kwl/w0)，wl和w0分別為信號的最低頻率和聚焦頻率。

通過濾波器的處理得到虛擬陣列輸出滿足了聚焦的要求，因此陣列總輸出可以表示為各子帶加和的形式得到

頻率fk處的虛擬陣元輸出[WTHX]X[WTBX]k與真實陣列輸出[WTHX]X[WTBX]k之間滿足以下關系： 由式(27)得到聚焦的協方差矩陣，進而可以利用窄帶的方法對[WTHX]R[WTBX]進行測向運算，得到陣列接收信號的方位估計。

3.2 基于FFT變換的空間重采樣算法

基于FFT變換的空間重采樣方法與通過頻率映射濾波器的處理方法基本思想不同，但是他們都是建立在空間信號的基礎上的。我們把陣元的序列對等于時間序列，與時間域相對應的有空間域的概念，從而對時域信號進行的各種處理方法同樣可以用在空域信號上。

為了使得不同的頻率子帶對應的信號子空間相同，當子帶的中心頻率壓縮了ρ倍時，就需將線列陣的陣元間距擴展ρ倍。為獲得陣元間距不同于真實陣元間距的虛擬陣列的輸出，必須對真實陣列進行插值。由采樣定理可知，一個頻譜受限的連續信號可以用等間隔的抽樣值惟一表示，采樣的間隔滿足不大于1/2fmax。我們將真實均勻線列陣的輸出看作是對一連續線陣的采樣，只要滿足采樣定理，即d<1/2λmin(λmin為最高信號頻率波長)那么連續線陣的輸出就可以由采樣值恢復得到，從而其上的任一點的輸出都能相應的得到。也既是說虛擬陣列的輸出可以通過真實陣列輸出恢復的連續線陣得到。

為了使得虛擬陣元都分布在真實陣元內部，那么必須選擇信號的最低頻率作為聚焦頻率，同時為了滿足采樣定理，真實陣元的間距應為最高頻率波長的一半即1/2λmin。

若要將陣元數為M，陣元間距為d的真實均勻線列陣的采樣輸出插值為陣元間距為ρd(ρ≤1)的虛擬均勻線列陣輸出，具體方法如下：

(1) 將真實陣列的采樣輸出做M點FFT變換。

(2) 計算虛擬陣的陣元數D=Round(M/ρ)，其中Round(#8226;)表示取最接近于M/ρ的一個整數。

(3) 將第一步中的變換結果做添值處理(增加適當的值，通常在尾部添加并于使添加的值與最后的值保持一致)，然后進行D點的逆FFT變換即可得到虛擬陣的輸出。

(4) 從虛擬陣的D個輸出中取出連續的M個輸出作為陣列的輸出(通常取中間的部分)。

對于每個子帶都進行如上處理后，得到方向矩陣一致的輸出，將各子帶的輸出加和，從而可以利用窄帶的方法進行后續的測向處理。

4 仿真實驗

通過仿真實驗驗證兩種算法的可行性。為了滿足空間采樣定理，真實陣的陣元間距d應小于寬帶信號最高頻率fmax對應波長的一半，此外，為保證虛擬陣列的插值點位于真實陣列的內部，聚焦的頻率應選擇寬帶信號最低頻率fmin。

首先比較兩種空間重采樣的性能。設有15個陣元組成的均勻線列陣，入射信號的帶寬為 75～125 Hz，相對帶寬為50％，入射角度分別為25°，30°，45°，噪聲為不相關的空間白噪聲，第二個信號是經第一個信號延遲05 s得到的相干信號。每次估計時，信號帶寬被分解為10個子帶，空間信源的功率相等。由于陣元的限制要得到相對誤差較小的測向結果空間重采樣的方法要求取較大的快拍數k=500，在信噪比為15 dB的情況下分別進行50次獨立實驗，兩種空間重采樣方法所得譜估計結果的均值如圖1，圖2所示，根據文獻［1］中的陣列流形內插算法在相同條件下得到的測向結果如圖3所示。[WTBZ]

圖1 FFT方法方位譜

圖2 濾波器方法的方位譜

測向算法的均方誤差定義為各個方向上的均方誤差的和的平均。從均方誤差的大小上能較為直觀的得到各算法的測向性能的比較。

從圖1、圖2和圖3的比較可以看出空間重采樣的算法的優越性。

在相同條件下，列出空間重采樣兩種算法的10次獨立實驗估計結果和均方誤差如表1，表2所示，對比兩者的測向性能。由表1，表2的比較結果可以得出FFT方法相對濾波器方法的性能更優越。

圖3 陣列流形內插算法

表1 FFT方法估計結果

陣列流形內插算法中用近似計算來代替貝塞爾函數的無窮加和，為得到正確的結果應增大n值，當增大到n=-35∶35時得到如圖4所示的測向結果，隨著n的增大測向算法的計算量也相應增大。

5 結 語

空間重采樣的方法通過對接收到的信號進行變換使得不同頻率的信號得到相同的信號子空間。

這種算法也是基于聚焦的思想，其頻域處理保持了對相干信號子的處理能力。因為不需要對方位進行預估計克服了一般方法對預估計角度的依賴性。正是在這方面基于FFT的空間重采樣方法改善了方位估計的性能。

空間重采樣算法與陣列流形內插算法相比測向性能更加優越。由文中對空間重采樣算法原理的介紹可以看到基于FFT的空間重采樣算法是通過對接收信號進行空間傅里葉變換來得到，而通過濾波器變換的算法由于在進行濾波器變換的時候引入了近似運算(對濾波器進行加窗處理)使得算法存在不可避免的算法誤差，因此相比基于FFT的空間重采樣算法的性能要差一些，而陣列流形內插算法由于貝塞爾函數的近似運算也從根本上就存在了算法誤差，加之計算量較大，因此測向性能與空間重采樣的方法相比要差一些。

圖4 陣列流形內插算法

在空間重采樣算法的應用中為了使得虛擬陣元在真實[CM(23]陣元內部須選擇最低頻率作為中心頻率。基于FFT的空[CM)][LL]間重采樣算法在進行虛擬陣元數計算時D=Round(M/ρ)可能因此引入誤差，為了避免由于近似運算引入的誤差就必須選擇合適數量的子帶使得需要增加的陣元數恰好為整數，從而可以避免近似運算引入的算法誤差。同時，為了滿足采樣定理陣元間距必須小于最高頻率信號波長的一半，降低了基陣的相對孔徑，導致了其在低信噪比條件下估計信能的下降，但隨信噪比的提高，其估計性能迅速提高。空間重采樣寬帶信號方位估計算法要得到預期的測向效果，對于陣元的選擇和子帶的選擇有嚴格的要求。

參 考 文 獻

［1］Doron M A，Doron E，Weiss A J.Coherent Wide-band Processing for Arbitrary Array Geometry\\[J\\].IEEE Trans.Signal Processing，1993(41):414-417.

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［2］Krolik J，Swingler D，Focused Wide-Band Array Processing by Spatial Resampling\\[J\\].IEEE Trans.ASSP，1990，38(2)：356-360.

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［3］朱維杰，孫進才.基于快速富式變換插值的寬帶信號方位估計\\[J\\].聲學學報.2002，27(6):513-517.

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［4］Liu B，Franaszek P A.A Class of Time-Varying Digital Filters\\[J\\].IEEE Trans.Circuit Theory，1969，CT-16(4):467-471.

作者簡介

田 野 1972年出生，1996年獲哈爾濱師范大學物理教育專業學士學位，現為哈爾濱師范大學物理系講師、哈爾濱工程大學信息與通信工程學院碩士研究生。從事專業為信號與信息處理。

趙春暉 1965年出生，1998年獲哈爾濱工業大學測試計量技術及儀器專業博士學位，2000年獲“全國優秀博士學位論文”。博士、教授，哈爾濱工程大學信息與通信工程學院博士生導師。從事專業為信號與信息處理。

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