Ｍａｔｌａｂ求解方同軸波導的截止波長和特性阻抗

摘 要：采用有限差分法利用Matlab求解了方同軸波導的特性阻抗和高次模的截止波長并畫出了場結構圖，將所得數據與國外文獻數據進行了對比，證明了有限差分法結合Matlab在分析簡單截面的同軸波導時是簡單可行的，而且計算精度較高，通用性強，可以用于傳輸線工程問題的設計和計算。最后計算了矩形同波導和偏心同軸波導的相關數據，用于與方形同軸波導對比。

關鍵詞：方同軸波導；有限差分法；亥姆霍茲方程；特性阻抗；截止波長

中圖分類號：TP391 文獻標識碼：B

文章編號：1004373X(2008)0310003

Analysis of Transmission Character in Square Coaxial Waveguide with Matlab

JIN Jing，LU Mai，CHEN Xiaoqiang

(Key Laboratory of Opto—Electronic Technology and Intelligent Control Ministry of Education，Lanzhou Jiaotong University，Lanzhou，730070，China)

Abstract：Thepaper appliesMatlab based on the FDI method to solve the characteristic impedance，cutoffwavelength and gives out the field pattern ofhigh—order modes in square coaxial transmission.Through comparing the data with the equivalent in foreign paper，it is proved that the FDI method with Matlab is a simpleand feasible method.It is of high accuracy，common usefulness and can be applied generally for the analysis of transmitsion lines.At last it calculates the related data of rectangular coaxial waveguide，eccentric coaxial waveguide，and compares them with the first.

Keywords：square coaxial transmission wave—guides;FDI method;Helmholtz equation;characteristic impedance;cutoff wavelength

1 引 言

隨著通信技術的飛速發展，在一些特定的場合方同軸波導有其不可替代的特性[1]，如矩形同軸線定向耦合器在通信衛星等空間大功率設備中的廣泛應用，對方同軸波導特性的研究也越來越多。對于同軸波導來說其傳輸的主模是TEM模，TE，TM是作為干擾模存在的，所以計算TE，TM各模式的截止波長對傳輸線的設計有重要意義，對于其特性阻抗，由于其與內外導體間距離成正比，而工作頻率一定時擊穿電壓與內外導體間距離平方成正比[2]，所以設計時要充分考慮特性阻抗，因此特征阻抗的計算也很重要。

當前，對復雜截面同軸波導由于其復雜的結構特性常采用有限元等方法進行分析求解，以研究其特性，尤其是在截面為橢圓形、三角形、菱形等多邊形時，而對一些簡單截面的同軸波導（如方同軸波導、矩形同軸波導等）采用簡單的有限差分法對其進行分析求解同樣能夠得到較好的效果。已有文獻進行了這方面的工作[3]，但還不全面，且多為靜態場方面的特性分析。本文借鑒了這些方法，采用有限差分法結合Matlab計算了不同尺寸的方同軸波導的特性阻抗以及TE模式的干擾模的截止波長，還計算了偏心方形同軸波導和矩形同軸波導的相關數據，并畫出了其TE模式下的場結構圖。文獻[1]中采用有限元法計算所得的方同軸波導內外導體邊長比、變化時TE10，TE11模式的截止波長數據和文獻[4]中的特性阻抗數據，可作為檢驗計算結果的標準，以證明方法的可行性。

圖1 剖分后的方同軸波導示意圖

2 基本原理及方法

以求解方同軸波導中的TE模為例，由于方同軸波導為雙導體結構的傳輸線，所以分別求其內外導體邊長比、不同時的主高次模TE10和次高次模TE11的截止波長。有關有限差分法的基本原理可參考文獻[3]，文獻[5]。如圖1所示，以正方形網格劃分的方同軸波導，其中a為波外導體邊長，b為波導內導體邊長（如此設置是為和文獻[1]中數據進行比較），h為剖分步長，圖中所示為等步長剖分，所編程序為通用程序，a，b，h皆可變化，為簡單起見采用等步長劃分，如圖所示，得到72個節點。根據文獻[6，7]運用時變電磁場的差分解法，要計算其TE模式的截止波長λc，就要對這72個節點列寫各點以場量φ為未知數的差分方程，而各點φ滿足亥姆霍茲方程：

即要寫出各點的亥姆霍茲方程的差分形式，同時由于是求TE模式的截止波長，所以要按第二類邊界條件（φn=0）的差分格式[6，7]處理各邊界點。如此構成的差分方程組以矩陣形式表示為：

這樣就歸結為求解矩陣的本征值問題，K為系數矩陣，Φ是以網格節點上待求場量φi（i＝1～n，對于求解TE模式，φ即為磁場縱向分量）為分向量的列向量，即本征向量，本征值β表示為：

其中k為截止波數，h剖分步長，k與截止波長λc的關系為：

所以只要求出了β也就容易求出k，從而得到λc。求本征值的方法有很多，常用的是迭代法，而之所以使用Matlab是由于其自帶求解矩陣的本征值和本征向量的函數[8]，而且本例所求解的系數矩陣K[WTBZ]多為稀疏矩陣，Matlab中有專門的系數矩陣生成存儲方式，在進行計算時會自動進行優化以節省內存，加快計算速度。本例中，當求解出矩陣K[WTBZ]的[CM（21*2]特征向量時，其最小非負特征值即為主高次模TE10的截[CM）]

止波長，第二個最小非負特征值為次高次模TE11的截止波長。他們分別對應一組本征向量Φ[WTBZ]，即利用Matlab中的相關函數同時可求得兩種模式下的各點磁場縱向分量，還可利用相應繪圖函數繪出場圖。而對于特征阻抗的求解，現有文獻多采用保角變換法，本文仍舊采用有限差分法，其原理可參考文獻[7]。

3 數值計算結果分析

(1) 表1，表2中截止波長數據中的前兩行為計算的TE10和TE11模式的截止波長，其中帶“＊”號的與文獻[1]中的計算結果比較相對誤差不超過0.5%。剩下的3行即為后3個高次模的截止波長。表3為圖2所示矩形同軸傳輸線的前5個高次模和特性阻抗。其中b/a，d/c都定為0.6不變，c/a為從0.1～0.9變化，計算不同c/a（a均取1 cm）情況下的前5個高次模和特性阻抗。表4為圖3對應的偏心方同軸波導的特性阻抗和TE10和TE11模式的截止波長，其中b/a=0.5。

圖2 矩形同軸傳輸線橫截面圖

圖3 偏心方同軸傳輸線橫截面圖

(2) 方同軸波導阻抗的計算結果與文獻[4]相比更為接近《微波傳輸線設計手冊》中的數據，其變化趨勢也與文獻[2]的結論一致，即內外導體間距較小時，方同軸線的特性阻抗較小，而矩形同軸波導和偏心同軸波導的相關計算結果雖無參考但與方形的相比變化相似，即兩導體間距較小時阻抗較小，TE模式的前兩個高次模的截止波長較大，這些均可作為傳輸線設計的一個參考。

表1 方形同軸波導高次模截止波長(cm)和特性阻抗（Ω）

表2 方形同軸波導高次模截止波長（cm）和特性阻抗（Ω）

表3 矩形同軸波導高次模截止波長（cm）和特性阻抗（Ω）

表4 偏心方同軸波導截止波長（cm）和特性阻抗（Ω）(b/a=0.5)

(3) 圖4～圖6分別為方同軸波導(a=1 cm，b/a=0.5)，偏心方同軸波導(a=1 cm，b/a=0.5，d/a=c/a=0.15)，矩形同軸波導(a=1 cm，b/a=0.6，c/a=0.5，d/b=0.5)在TE模式下第一個高次模的電場分布。從圖上可看出3種結構的同軸波導其場分布相似，內外導體間距較小的地方電力線分布較密，表明此處場強較大，內外導體間距較大的地方電力線分布較疏，表明此處場強較小。

圖4 方同軸波導場結構圖

圖5 偏心方同軸波導場結構圖

圖6 矩形同軸波導場結構圖

4 結 語

有限差分法雖然簡單，但其結合Matlab分析求解簡單橫截面結構的方同軸波導時，其結果還是可以接受的，可用于傳輸線設計。方形同軸波導，偏心方同軸波導，矩形同軸波導這3種結構的傳輸特性相似，其特性阻抗隨內外導體間距的縮小而遞減，第一個高次模的截止波長隨內外導體間距的縮小而增大。相同尺寸的偏心同軸波導與同心方形波導相比，具有更高的第一個高次模截止波長和較小的特性阻抗，可應用在一些特殊場合。

參考文獻

[1]Gruner L.Higher Order Modes inSquare Coaxial Lines[J].IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques，1983，MTT—31:770—771.

[2]曹桂明，王積勤.方同軸線的特性分析[J].上海航天，2003(2):27—29.

[3]王偉，盧萬錚，趙炯，等.一種方同軸波導中高次模截止波長的求解[J].現代電子技術，2003，26(22):96—98.

[4]張旭春，謝軍偉，甄蜀春.復雜截面同軸線特性阻抗、截止波長的計算[J].光纖與電纜及其應用技術，2001(3):17—22

[5]王秉中.計算電磁學[M].北京:科學出版社，2002.

[6]李鳳泉.電磁場數值計算與電磁鐵設計[M].北京:清華大學出版社，2002.

[7]曹世昌.電磁場數值計算和微波的計算機輔助設計[M].北京:電子工業出版社，1989.

[8]張志涌.精通Matlab 6.5版[M].北京:北京航空航天大學出版社，2003.

[9]何紅雨.電磁場數值計算法與Matlab實現[M].武漢:華中科技大學出版社，2004.

作者簡介 金 靜 女，1980年出生，山東茌平人，碩士研究生。主要研究方向為計算電磁學。

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。