基于角點檢測的中值曲率擴散模型改進方法

摘 要：討論了一種新的基于非線性擴散方程的圖像去噪方法。在分析中值曲率擴散模型去噪原理的基礎上，將角點檢測因子引入到該模型中控制擴散速度，使改進后的方程在非角點處進行較大擴散，在角點處停止擴散。實驗結果表明，該方法不僅有效去除了圖像中的噪聲，而且較好地保留了圖像中的角點信息，去噪效果令人滿意。

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關鍵詞：偏微分方程；非線性擴散；角點檢測;中值曲率驅動

中圖分類號：TP391文獻標識碼：B

文章編號：1004-373X(2008)07-188-03

An Improved Method of Mean Curvature Motion Based on the Detection of Corners in the Image

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GE Jianfei，GAO Zhiyong，LIU Xiangming

(School of Electronic Information Engineering，South-Central University for Nationalities，Wuhan，430074，China)

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Abstract：A new nonlinear diffusion-based image denoising method is proposed in this work.At first the principle of Mean Curvature Motion equation is analyzed.After that a factor of corner detection is introduced into the model to control the speed of diffusion，which is faster in the position of no corner and stops in the position of corners.Experimental results show that the denoising method can not only remove the noise but also preserve the information of corners in the image.

Keywords：PDE;nonlinear diffusion;corner detection;mean curvature motion

1 引 言

近年來基于偏微分方程(P.D.E.)的濾波方法受到圖像研究人員的關注，此類方法最早由Perona和Malik在文獻［1］中提出，去噪的主要思想是：在圖像邊緣處進行較少的平滑，而在圖像區域內進行類似高斯濾波的較大平滑。自P-M模型提出之日起，已有許多學者對非線性擴散模型做了進一步的研究和改進，其中Alvarez，Lions and Morel在文獻^[2]中提出了中值曲率驅動(M.C.M.)擴散方程，該方法僅保留沿垂直于梯度方向的擴散，能夠在保持目標邊緣的同時去除噪聲。但Alvarez等人同時發現M.C.M.模型在擴散過程中容易磨損圖像中的角點信息。

本文提出一種M.C.M.模型的改進方法，在擴散初期對含噪圖像進行角點檢測，并在隨后的擴散過程中對角點加以保護，使得在角點處擴散為零，線性邊緣處擴散仍沿與梯度垂直的方向進行，實驗結果顯示，該方法可以取得令人滿意的濾波效果。

2 中值曲率驅動方程

中值曲率驅動方程可看作Alvarez提出的退化擴散模型^[2]的一種特殊情況。該模型的具體形式為：



ut=ucurv(u)un=0

u(x，y，0)=u0(x，y)

(1)



其中是梯度算子，curv(u)是圖像u水平線的曲率，u/n=0是方程的邊界條件，u0(x，y)是待處理的含噪圖像，濾波后的圖像就是方程(1)的解。

該模型有明確的幾何意義：在濾波過程中圖像沿著水平線的曲率進行演變，即在每一點(x，y)處，經過(x，y)的水平線沿著梯度的方向以curv(u)的速率進行演化。由于在圖像的角點處曲率curv(u)有較大的值，所以演化的結果容易磨損角點。

3 角點檢測

以水平方向上的二階導數為例：uxx(i，j)=ui+1，j－2ui，j+ui－1，j，不難看出二階方向導數反映了兩側點與當前點的差異情況。在圖1中，a點是線條點，b點是角點，定義一個局部坐標系統：



η=u|u|，ξ=u⊥|u⊥|



其中u⊥=(－uy，ux)。對于線條上的點a來說，沿ξ方向的二階導數uξξ有較小的值；對于角點b來說，沿ξ方向的二階導數uξξ有較大的值，因此我們可以設定一個閾值函數來區分角點和線條點：



T((Gσu0)ξξ)=0，(Gσu0)ξξ>C

1，(Gσu0)ξξ

(2)



其中，T是閾值函數，Gσ是為了提高抗噪能力引入的高斯平滑核，u0是含噪圖像，C是閾值常數。

4 改進后的方程及數值解法

4.1 改進后的方程

將式(2)引入式(1)中，并且考慮上節中定義的局部坐標系統，得到改進后的方程：



ut=T((Gσu0)ξξ)|u|curv(u)

=T((Gσu0)ξξ)uξξ

un=0u(x，y，0)=u0(x，y)

(3)



在角點處(Gσu0)ξξ值較大，T((Gσu0)ξξ)＝0，擴散方程為：ut=0；在非角點處(Gσu0)ξξ值較小，T((Gσu0)ξξ)＝1，擴散方程為ut=|u|curv(u)，即中值曲率驅動方程。需要注意的是：方程(3)中兩個參數，高斯平滑核的方差σ和閾值常數C，參數值的選擇需針對待處理圖像的不同做適當調整，使得閾值函數T((Gσu0)ξξ)能夠準確地檢測出角點。不適當的參數值會導致檢測結果中角點丟失，或出現偽角點。

圖1 角點和線條點

圖2 自適應模板

4.2 數值解法

基于P.D.E.圖像處理方法的一個重要優點是可以充分利用數值分析理論中的已有成果。式(3)的離散化采用了有限微分法。

式(3)的離散化形式為：



un+1(i，j)=un(i，j)+τ[WTHX]T[WTBX](unξξ)i，j

(4)



其中，n表示迭代次數，τ表示時間步長與空間之比，且滿足τ≤0.5，[WTHX]T[WTBX]是一個二值矩陣，在角點處矩陣元素值為0，在非角點處矩陣元素值為1，(unξξ)i，j是uξξ的離散化算子。

文獻［3］中提出了一種采用自適應模板計算uξξ的方法，自適應模板如圖2所示， 其主要思想是把當前像素及其8鄰域像素值的線性組合作為當前位置的uξξ值：

 

(uξξ)i，j=－4λ0ui，j+λ1(ui，j+1+ui，j－1)+

λ2(ui+1，j+ui－1，j)+λ3(ui－1，j+1+ui+1，j－1)+

λ4(ui－1，j－1+ui+1，j+1)

(5)



其中λ0，λ1，λ2，λ3和λ4滿足如下關系：



λ1=2λ0－u2yu2x+u2y

λ2=2λ0－u2xu2x+u2y

λ3=－λ0+0.5u2x+u2y－uxuyu2x+u2y

λ4=－λ0+0.5u2x+u2y+uxuyu2x+u2y

(6)



且λ0=0.5－u2xu2y(u2x+u2y)2，對于一階導數ux，uy的計算公式是：



ux=2(ui+1，j－ui－1，j)+ui+1，j+1－ui－1，j+1+ui+1，j－1－ui－1，j－14(7)

uy=2(ui，j+1－ui，j－1)+ui+1，j+1－ui+1，j－1+ui－1，j+1－ui－1，j－14(8)



由式(5)~式(8)的組合，可以計算出(uξξ)i，j。二值矩陣[WTHX]T[WTBX]的計算與上述方法相同，不同的是在計算過程中，需要選擇合適的高斯核對u0做預平滑，并且需要選擇合適的閾值常數C對(Gσu0)ξξ進行二值化。

5 實驗結果

為驗證改進后的式(3)的去噪性能，本文首先將其用于一幅高斯噪聲退化后的合成圖像，實驗結果如圖3所示。

圖3 實驗結果(一)

本文也將式(3)用于一副實際的含噪圖像，如圖4所示。圖4(c)~圖4(e)為圖4(b)中矩形區域放大后的實驗結果比較。

從以上實驗結果不難看出，改進后的去噪模型在濾波過程中對圖像中的角點進行了很好的保留。



圖4 實驗結果(二)

6 結 語

本文提出的中值曲率擴散模型改進方法與原模型相比，在保持圖像角點信息上確實具有明顯的優勢。但同時我們也注意到，高斯平滑核的方差σ和閾值常數C兩個參數的引入，使得改進后的模型在復雜度上較原模型有所增加，這可能正是好的實驗結果所要付出的“代價”。

參 考 文 獻

［1］PeronaP，Malik J.Scale-space and Edge Detection Using Anisotropic Diffusion ［J］.IEEE Transactions on Pattern Recognition and Machine Intelligence，1990，12 (3)：629-639.

［2］Alvarez Luis，Lions Pierre Louis，Morel Jean Michel.Image Selective Smoothing and Edge Detection by Nonlinear Diffusion ［J］.SIAM Journal of Numerical Analysis，1992，29 (3):845-866.

［3］Gilles Aubert，Pierre Kornprobst.Mathematical Problems in Image Processing［M］.北京:世界圖書出版公司，2005.

［4］朱立新，王平安，夏德深.非線性擴散圖像去噪中的耦合自適應保真項研究 ［J］.計算機輔助設計與圖形學學報，2006，10(3):1519-1524.

［5］楊新.圖像偏微分方程的原理與應用［M］.上海：上海交通大學出版社，2003.

［6］[法]麥特爾.現代數字圖像處理［M］.孫洪，譯.北京：電子工業出版社，2006.

［7］Alvarez L，Guichard F，Lions P L.Axioms and Fundamental Equations of Image Processing［J］.Archive for Rational Mechanics and Analysis，1993，16 (9):200-257.

［8］張亶，陳剛.基于偏微分方程的圖像處理［M］.北京：高等教育出版社，2003.

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作者簡介 葛建飛 男，1981年出生，河北滄州人，在讀碩士研究生。主要研究方向為醫學圖像處理。

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。