大學數學中的學與教

在大學教數學，我們應該教學生什么?不容置疑，要介紹數學重要的結果，漂亮的方法，巧妙的技巧，和廣泛的應用。但最重要的是介紹數學的思想。能否把數學思想很好地介紹給學生，依賴于許多方面，如課程設計，教材編寫，教學形式等等。數學思想是不可能像填鴨那樣灌輸給學生的。能否較好的把數學思想介紹給學生，要求是雙向的。既要求老師善于講，也要求學生有興趣，肯思考。所以，最重要的是要培養學生的興趣，使他們學會思考。

思考：學習科學知識不用科學的學習方法是非常可笑的。著名科學家牛頓在被問到是什么使得他發現了萬有引力定律時，其回答非常簡單：“By thinking on it continuall”。這看似簡單的回答卻給出了一個真理：幾乎所有的偉大發現都歸功于不斷的思考。所以，在大學里一定要使學生有相當的時間在思考，要培養學生善于思考。

首先，在課程安排上要留出給學生思考的時間。如果課程太多，課時太多，作業太多，根本就沒有時間思考。不思考，人就和機器沒太多的差別。學生的腦袋不能像個布袋，把知識像貨物一樣往里裝。學習不是為了學習而學習。學習的目的是為了提高自己的創新能力，只有創新才是推動社會進步的動力。而創新需要想象力。所以，大學里一定要從學生從繁忙的課時中解脫出來，多有時間思考。

興趣：興趣是學習最有效的動力。經常教育學生要明確學習目的，端正學習態度，刻苦努力，等等。這些雖然必要，但是，過分的把學習強調是任務，是使命，而忽視學習樂趣的做法是不可取的。單純地把學習當成任務會給學生帶來太大的壓力。只要有興趣，學到的知識能擴大我們對學習的興趣，誘使我們主動地去學習新的東西。數學家韋爾斯十年磨一劍攻克費爾馬大定理，就是從小就迷上了這個世界難題。培養學生的興趣，老師非常關鍵。物理學家弗里希：“科學家必定有孩童般的好奇心。要成為一個成功的科學家，必須保持這種孩提時的天性”。在大學期間培養學生對數學的興趣的有利的條件有三：一是數學本身的確有趣；二是年青人容易來興趣；三是學生們暫時還沒太多其它的興趣。什么最能引發學生對數學的興趣?是數學的美，學科的重要，還是教材的生動?無疑這些都是重要的因素，但最重要的還是老師。一堂課，一個定理，乃至一句話都可能使得學生對數學終身有愛。使學生對數學感興趣有時要因人而異。好的教育要求老師必須了解學生。除了上大課外，老師應該有機會小范圍的和學生交流和討論。對特殊的學生一定要有特殊的方法。思考和興趣是學習的兩個非常重要的因素。有了學生這兩個重要的因素，教師在教學過程中要做的就是下面的一些事情。

1.揚長避短，做好大學數學的接軌教育。大學教育，無論在教師的教學方法、學生的學習方法、教材的編排和組織上，還是在對學習對象的管理和要求上都同中學教育迥然不同。這對我們的新同學來講就必然有一個接軌過程。為此，我們曾經對大學新生進行過細致的調查分析，也對接軌教育進行了一些探討。這里，我們著重指出，大學新生學習數學的興趣主要有探究創造欲望、學業成績、職業需求三個主要因素。這些因素在大學教育的條件下是可以滿足的，學生學習數學的動機和興趣是存在的，所以可以充分利用初等教育給大學新生打下的基本功扎實、學習勤奮的優點，因勢利導，把學生引導到以發展能力為中心的素質教育軌道上來。

2.與時俱進，充分利用現代教育手段，創新現有的教學手段和教學方法。隨著計算機的廣泛應用，許多實際生活問題由于克服了手工計算的障礙能夠進入數學教學了，一些傳統方法無法完成的三維、圖形、動態模型也在計算機的幫助下成為現實，數學軟件、計算機代數幾經升級，功能也越來越強大。大學數學教育中，如果合理地利用計算機以及數學軟件，將會對數學教育起到很大的推動作用。事實上，在國外發達國家的大學數學課堂上，幾乎每個學生都有一個便攜式計算機或函數計算器，學生可以利用這些工具很方便地找到自己所需的答案。

在大學數學教育中將應用數學軟件解決數學問題的能力作為教學要求的一部分。傳統數學教育也強調三大能力，即運算能力、邏輯思維能力和空間想象力。對此我們認為應該是包括利用計算機進行數學運算和數學應用的能力。事實上，現有的數學軟件已經能夠解決大學數學中的絕大部分問題了。引入應用數學實驗并不是削弱教師的主導地位。在數學實驗幫我們解決了大量復雜繁瑣的計算機抽象的空間圖形后，教學課上應該能有一些機動時間，為此大學數學教育應更加注重數學基本概念教學。數學概念是對數學思想的總結和沉淀，而數學思想和方法正是數學學習的靈魂所在。數學概念抽象的形成往往是相當困難的，有些甚至經歷極為漫長的過程，函數就是一個典型例子。

3.開拓創新，構建新的課程體系，注重培養終生受用的發展能力。由于數學知識的內部聯系密切，環環相扣，系統性強，某一學習環節的障礙，往往造成下一階段學習的困難，因而學生一旦掉隊就很難補上。所以我們主張由淺入深，遵循從現象到本質，從具體到抽象，從簡單到復雜，從一般到特殊的認識規律。強調最基本的數學知識和技能。譬如，傳統微積分課程，先講數列極限，再講函數極限，然后是連續和導數。經驗表明，數列極限是一個教學難點，新生很難在短時間內掌握。可否直接將其略去或者放在級數中再講，直接進入函數極限進而引出導數的定義。又比如，有理函數都能積分，相關理論已經很完備，但其計算往往非常復雜，耗費學生很多時間。可否將這些繁瑣計算留給計算機完成?這些問題的解決有待于我們對現行課程教材體系進行新的思考和創新。