幾種常見的概率計算問題

解概率問題如果是一次操作問題，一般直接用公式法；如果是兩次操作問題，一般用列表法或畫樹狀圖法都可以解答；如果是三次操作問題，用畫樹狀圖法較易解答.

一、游戲類問題

例1 圖1是由轉盤和箭頭組成的兩個裝置，裝置A，B的轉盤分別被分成三個面積相等的扇形.裝置A上的數字分別為1，6，8，裝置B上的數字分別是4，5，7，這兩個裝置除表面數字不同外，其他結構相同.現在你和另一個人分別同時用力轉動A，B兩個轉盤上的箭頭.規定箭頭停留在較大數字的一方獲勝（若箭頭停在界線上，再重轉一次，直到不停在界線上為止），那么你會選擇哪個裝置？為什么？

解析： 這是兩次操作問題，所以用列表法.把所有可能得到的數字組合列成下表：

由表知P（A>B）= ，P（B>A）= ，所以選擇A裝置.

例2 （濟寧市）如圖2，將轉盤等分成六個扇形，并在上面依次寫上數字1，2，3，4，5，6.指針的位置固定，自由轉動轉盤，當它停止時，指針指向偶數區域的概率是（指針指向兩個扇形的交線時，當做指向右邊的扇形）______，請你利用這個轉盤設計一個游戲，當自由轉動的轉盤停止時，指針所指區域的概率為 .

解：指針指向偶數區域的概率是P＝ ＝ .

游戲設計：① 將1和2所在的扇形涂成紅色，3和4所在的扇形涂成黃色，5和6所在的扇形涂成綠色，則指針指向紅色或黃色或綠色區域的概率都為 .② 分別將1和4所在的扇形涂成紅色，2和5所在的扇形涂成黃色，3和6所在的扇形涂成綠色，則指針指向紅色或黃色或綠色區域的概率為 .

例3 （遼寧省）四張質地相同的卡片如圖3所示，將卡片洗勻后，背面朝上放置在桌面上.

（1） 求隨機抽取1張卡片，恰好得到數字2的概率.

（2） 小貝和小晶用以上4張卡片做游戲，規則見圖4，你認為這個游戲公平嗎？請用列表或畫樹狀圖法說明理由；若不公平，請你修改規則，使游戲變得公平.

解析： （1） 是一次操作問題，可直接用公式.（2） 是兩次操作問題，要用列表法或畫樹狀圖法.

（1） P（恰好得到數字2）= = .

（2） 根據題意畫樹狀圖如圖5.

從樹狀圖中可以看出所有可能的結果共16種，不超過32的兩位數有10個，超過32的兩位數有6個.

P（不超過32）＝ = ；

P（超過32）＝ = .

因為二者不相等，所以游戲不公平.

修改規則：① 組成的兩位數中，若個位數字是2，小貝勝，反之小晶勝.這樣能使游戲公平.

② 抽到的兩位數不超過32的得3分；抽到的兩位數超過32的得5分.這樣能使游戲公平.（有多種修改方法，僅舉兩種）

二、綜合計算題

例4 （沈陽市）如圖6，A，B，C是三個幾何體，設正對我們的方向為它們的正面.設A，B，C三個幾何體的主視圖分別是A1，B1，C1，左視圖分別是A2，B2，C2，俯視圖分別是A3，B3，C3.

（1） 請你分別寫出A1，A2，A3，B1，B2，B3，C1，C2，C3圖形的名稱.

（2） 小剛先將這9個視圖分別畫在大小、形狀完全相同的9張卡片上，并將畫有A1，A2，A3的3張卡片放在甲口袋中，畫有B1，B2，B3的3張卡片放在乙口袋中，畫有C1，C2，C3的3張卡片放在丙口袋中，然后由小亮隨機從這三個口袋中分別取出1張卡片.

① 通過補全圖7的樹狀圖，求出小亮隨機抽取3張卡片上的圖形名稱都相同的概率；

② 小亮和小剛做游戲，游戲規則規定：在小亮隨機抽取的3張卡片中，只有2張卡片上的圖形名稱相同時，小剛獲勝；3張卡片上的圖形名稱完全不同時，小亮獲勝.這個游戲對雙方公平嗎？為什么？

解析： 這是三次操作問題，用樹狀圖是解決問題的最有效辦法.

（1） 由已知可得A1，A2是矩形，A3是圓；B1，B2，B3都是矩形；C1是三角形，C2，C3是矩形.

（2） ① 補全樹狀圖如圖8.

由樹狀圖可知，共有27種等可能的結果，其中3張卡片上的圖形名稱都相同的有12種.所以3張卡片上的圖形名稱都相同的概率是 = .

② 游戲對雙方不公平.由①可知，3張卡片中只有2張卡片上的圖形名稱相同的概率是 ，即P（小剛獲勝）＝ ；3張卡片上的圖形名稱完全不相同的概率是 ＝ ，即P（小亮獲勝）＝ .

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文