中考四邊形折疊問題兩例

折疊將四邊形和軸對稱變換有機地融合在一起，是學習幾何知識和訓練思維的很好形式，也是中考的必考內容.現結合兩例2008年中考試題說明．

例１ （南昌市）如圖1，把矩形紙片ABCD沿EF折疊，使點B落在邊AD上的點B′處，點A落在點A′處.

（1） 求證：B′E=BF.

（2） 設AE=a，AB=b，BF=c，試猜想a，b，c之間的一種關系，并給予證明．

證明：（1） 由題意得B′F=BF，∠B′FE=∠BFE.

在矩形ABCD中，由AD∥BC，可得∠B′EF=∠BFE.

∴∠B′FE=∠B′EF，則B′F=B′E，即B′E=BF.

（2） a，b，c三者關系有兩種可能情況.

① a，b，c三者存在的關系是a2+b2=c2．

證明如下.

連接BE（如圖2），則BE=B′E．

由（1）知B′E=BF=c，所以BE=c.

顯然△ABE是直角三角形，所以a2+b2=c2.

② a，b，c三者存在的關系是a+b>c．證明略.

點評： 第（2）問是開放性結論，富有探究性．我們可發現，四邊形B′FBE實際上是菱形，雖然在解答過程中并不需要用到它，但同學們要把它作為一個常識性結論熟練掌握，這是通性通法的體現．對于第（2）問中的①②兩種情況，回答一種即可．

例２ （連云港市）如圖3，在直角梯形紙片ABCD中，AB∥DC，∠A=90°，CD>AD，將紙片沿過點D的直線折疊，使點A落在邊CD上的點E處，折痕為DF．連接EF并展開紙片．

（1） 求證：四邊形ADEF是正方形.

（2） 取線段AF的中點G，連接EG，如果BG=CD，試說明四邊形GBCE是等腰梯形．

證明：（1） 易知∠A=90°，∠ADE=90°，∠DEF=90°.

∴四邊形ADEF是矩形，且鄰邊AD，DE相等．

∴四邊形ADEF是正方形．

（2） 連接DG（如圖4），顯然四邊形GBCE是梯形．

易證△AGD≌△FGE，所以∠DGA=∠EGB.

∵BG=CD，BG∥CD，

∴四邊形BCDG是平行四邊形．

∴DG∥CB.由此可知∠DGA=∠B.進而可得∠EGB=∠B.

∴四邊形GBCE是等腰梯形．

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