§３．５ 二次函數的圖象和性質

第1課時二次函數的概念和性質

主要知識點

1. 二次函數的概念

一般地，稱y=ax2+bx+c（a≠0，a，b，c為常數）表示的函數為二次函數.

2. 二次函數的圖象和性質

（1） 二次函數的頂點式為y=a（x-h）2+k（a≠0），它的圖象是對稱軸平行于y軸的拋物線.

（2）圖象特征：① 當a＞0時，拋物線開口向上；當a＜0時，拋物線開口向下.② 對稱軸為直線x=h.③ 頂點坐標為（h，k）.

（3） 增減性：當a＞0時，如果x≤h，那么y隨x的增大而減小；如果x≥h，那么y隨x的增大而增大.當a＜0時，如果x≤h，那么y隨x的增大而增大；如果x≥h，那么y隨x的增大而減小.

（4） 最值：若a＞0，當x=h時，y最小值=k；若a＜0，當x=h時，y最大值=k.

練習題

1. 二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象開口向上，并且經過點 （-1，2），（1，0）.下列結論正確的是（）.

A.當x>0時，函數值y隨x的增大而增大

B.當x>0時，函數值y隨x的增大而減小

C.存在一個負數x0，使得當xx0時，函數值y隨x的增大而增大

D.存在一個正數x0，使得當xx0時，函數值y隨x的增大而增大

2. 當-2

3. 二次函數y=x2-2x-3的最小值是?搖 ?搖?搖.

4. 求二次函數y=x2-2x-1的頂點坐標及它與x軸的交點坐標.

第2課時二次函數與一元二次方程

主要知識點

一、二次函數的解析式

1. 一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a，b，c為常數）.

2. 頂點式：y=a（x-h）2+k（a≠0）.

如果已知二次函數的圖象經過一般的三點，可設解析式為一般式y=ax2+bx+c；如果所給條件中有頂點（或對稱軸、最值等），應設解析式為頂點式y=a（x-h）2+k（a≠0）.

二、二次函數圖象的平移

任何拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）都可轉化為y=a（x-h）2+k（a≠0）.這時，拋物線的頂點坐標為（h，k），對稱軸為x=h，因此任何拋物線都可由拋物線y=ax2經適當平移得到，具體平移方法如圖：

三、 二次函數圖象與一元二次方程

1. 如果二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸有兩個不同的交點（x1，0），（x2，0），那么一元二次方程ax2+bx+c=0就有兩個不相等的實數根x1，x2.

2. 二次函數y=ax2+bx+c的圖象與一元二次方程ax2+bx+c=0的根有如下關系.

（1） 如果圖象與x軸有兩個不同的公共點，那么對應的一元二次方程有兩個不相等的實數根.

（2） 如果圖象與x軸只有一個公共點，那么對應的一元二次方程有兩個相等的實數根.

（3） 如果圖象與x軸沒有公共點，那么對應的一元二次方程沒有實數根.反之，根據一元二次方程的根的情況，可以知道二次函數的圖象與x軸的位置關系.

3. 利用二次函數y=ax2+bx+c的圖象求方程ax2+bx+c=0的解的步驟.

（1） 畫出二次函數y=ax2+bx+c的圖象.

（2） 根據圖象確定拋物線y=ax2+bx+c與x軸的兩個交點分別在哪兩個相鄰整數之間.

（3） 利用計算器探索其解的十分位數字，從而確定方程的近似解.

經典例題

例 1 已知拋物線y=ax2+bx+c的頂點為（1，-4），且拋物線在x軸上截得的線段長為4，求拋物線的解析式.

解析：由于拋物線是軸對稱圖形，因此拋物線在x軸上截得的線段被拋物線的對稱軸垂直平分，從而可求得拋物線與x軸的兩個交點坐標.

∵ 拋物線的頂點為（1， 4），

∴ 設拋物線的解析式為y=a（x-1）2-4.

∴ 拋物線的對稱軸為直線x＝1.

又∵ 拋物線在x軸上截得的線段長為4，

∴ 拋物線與x軸的交點為（-1，0），（3，0）.

將點（-1，0）或（3，0）代入，得0＝4a-4.解得a＝1.

∴ 拋物線的解析式為y=（x-1）2-4，即y=x2-2x-3.

評注：函數圖象是研究函數性質的有力工具，是數形結合思想方法的重要運用.本題通過形（圖象及其位置）的條件得出數（相等和不等關系）的結論.同學們在復習時要加強對這種思想方法的理解和運用.

例 2 若拋物線y=a（x-h）2+k向下平移一個單位后，再向左平移3個單位，所得到新拋物線的頂點坐標為（-2，0），且a+h+k=4.求原拋物線的解析式.

解析：拋物線平移，主要抓住頂點的平移，由于平移中a不變，只要變動頂點就行了.對于這類已知平移后的頂點坐標，求原頂點坐標的問題，采用逆推法更易獲解.

原拋物線頂點坐標（h，k）向下平移1個單位后為（h，k-1），再向左平移3個單位后為（h-3，k-1）.依題意，得h-3=-2，k-1=0，所以h=1，k=1.又a+h+k=4，所以a=2.所以y=2（x-1）2+1，即y=2x2-4x+3.

評注：二次函數的圖象是對稱軸平行于y軸的拋物線，只要a值相同，拋物線的開口方向、大小和形狀完全相同，只是位置不同，而且拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）都可通過配方轉化為y=a（x-h）2+k（a≠0）的形式，其圖象可以由y=ax2（a≠0）經過適當的平移得到.

例 3 已知二次函數y=x2+ax+a-2，求證：不論a取何值，總有拋物線y=x2+ax+a-2的頂點Q在x軸下方.

分析：要說明拋物線的頂點在x軸下方，由于拋物線的開口向上，只要說明Δ＞0即可.也可以驗證頂點縱坐標小于0.

方法1：由Δ=a2-4（a-2）=a2-4a+8=（a-2）2+4＞0，且拋物線的開口向上，可知拋物線與x軸有兩個交點，所以頂點恒在x軸的下方.

第3課時二次函數的應用

主要知識點

1. 二次函數的應用常見題型

（1） 求最值.解決這類題要根據題意建立數學模型，利用二次函數性質求解，但應注意自變量的取值必須在實際生活中有意義.

（2） 與幾何圖形相結合的問題.運用幾何圖形的性質建立變量間的函數關系式，借用函數的性質求解.

2. 利用二次函數解決實際問題的步驟

（1） 找出等量列出等式.

（2） 引入變量，將等式轉化為函數關系式.

（3） 利用二次函數的圖象畫出草圖.

（4） 結合實際，找出符合實際問題的那部分圖象.

（5） 抓住圖象與坐標軸的交點、最高點或最低點這些特殊點，求出最后結果.

3. 善于不斷改進學習方法的小迪發現，對解題進行回顧反思，學習效果更好.某一天小迪有20 min時間可用于學習.假設小迪用于解題的時間x（單位：min）與學習收益量y的關系如圖5所示，用于回顧反思的時間x（單位：min）與學習收益y的關系如圖6所示（其中OA是拋物線的一部分，A為拋物線的頂點），且用于回顧反思的時間不超過用于解題的時間.

（1）求小迪解題的學習收益量y與用于解題的時間x之間的函數關系式.

（2）求小迪回顧反思的學習收益量y與用于回顧反思的時間x的函數關系式.

（3）小迪如何分配解題和回顧反思的時間，才能使這20 min的學習收益總量最大？

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