一元二次方程單元檢測題

一、選擇題（每小題3分，共24分）

1． 有下列方程：

① x2－x=0；② 2x2+3x+1=0；③ x2+5x－6=0；④x2－x+3=0.

其中1是方程的解的是（）.

A． ①②B． ①③C． ②③D． ①④

2． 下列方程中，沒有實數根的是（）.

A． x2+5=2 xB．x2－ = x

C．x2－2x+1=0 D． 2x= x2+

3． 設x1，x2是方程3x2+6x+2=0的兩個實數根，則 + 的值是（）.

A． 16 B． 10 C． 4 D． 8

4． 已知3是關于x的方程 x2－2ax+1=0的一個根，則a的值是（）.

A． 1 B． 3 C． D． 13

5． 如果2n是方程x2－mx+n=0的一個實數根，則m－2n的值是（）.

A． 4 B． 2 C． 1 D．

6． 如果關于x的方程x2－2 x－1=0有兩個不相等的實數根，則m的取值范圍是（）.

A． m≥0 B． m＞－1

C． m≤0 D． m＜－1

7． 若一元二次方程x2+bx+c=0（a≠0）存在兩個不等的負實數根，則應具備的條件是（）.

A． b2＞4cB． b>0且c>0

C． b＜0且c＞0D． c＞0

8． 已知方程3x2－6x+m=0的兩個實數根為x1，x2，且3x1+x2=0，則m的值為（）.

A． －3 B． 3 C． －9 D． 9

二、填空題（每小題4分，共24分）

9． 方程（x－3）2=3-x的實數根是 .

10． 某商品連續兩次降價10％后的價格為81元，則該商品的原價為 .

11． 已知一元二次方程x2+px+1=0的一個根為2+ ，則另一根為 .

12． 若方程（m－4）x2－（2m－1）x+m=0有兩個實數根，則m的取值范圍是 .

13． 方程組x2+y2=5，2x2-3xy-2y2=0的實數解的組數是 .

14． 若x1，x2是方程x2+2x+m2=0的兩個實數根，且 - =2，那么m的值為 .

三、解下列方程（組）（每小題5分，共20分）

15． （x+2）（x-2）=2 x. 16．+ = .

17． 2x+y-3=0，（x-2y）2-1=0.18． 14（x2+3）2-69（x2+3）-5=0.

四、解答題（每小題8分，共32分）

19． △ABC的三個內角之比為1∶2∶3，最大邊為c，且關于x的方程cx2+8x+c-6=0有兩個相等的實數根，求這個三角形的另兩邊a，b的值.

20． 小明開了一家超市，經過長期對某種商品進行調查統計，發現將進貨價為40元的商品按50元出售時，能賣出500個，若該商品每漲價1元，其銷售量就要減少10個，如要達到8 000元的利潤，售價應定為多少？這時應進貨多少個？

21． 如右圖，矩形ABCD中，AD=9 cm，AB=3 cm，將其折疊使點D與點B重合，求折疊后DE的長.

22． 已知關于x的方程5x2-2 px+5q=0（p≠0）有兩個相等的實數根.

（1） 求證：方程x2+px+q=0有兩個不相等的實數根.

（2） 設方程x2+px+q=0的兩個實數根為x1，x2，且|x1|<|x2|，求證x1∶x2=2∶3.

參考答案

1． B 2． C 3． C 4． C 5． D 6． A 7． B 8． C

9． 2或3 10． 100 11． 2－12． m≥- 且m≠4 13． 4 14． ±

15． x1= - ，x2= + .

16． 設m= ，原方程變為m+ = .解得m=2或m= .

當m=2時， =2，解得x=2或x=- ；

當m= 時， = .解得x=3- 或x=3+ .

經檢驗，它們都是原方程的根.

17． 由（x-2y）2-1=0，可得x1=2y+1，x2=2y-1.

得兩個方程組2x+y-3=0，x=2y+1； 2x+y-3=0，x=2y-1. 解為x1=1，y1=1， x2= ，y2= .

18． 原方程分解因式，得［14（x2+3）+1］［（x2+3）-5］=0.解為x=± .

19． 易得C=90°，其余兩個角為30°和60°.故三邊之比為1∶ ∶2.

顯然64-4c（c-6）=0，即c2-6c-16=0.解得c=8或c=-2（舍去）.

∴a，b的值分別為4和4 或為4 和4.

20． 設漲價x元，則售價為（50+x）元，進貨為（500－10x）個，獲得利潤為（10+x）（500-10x）.

可列方程（10+x）（500-10x）=8 000.解得x=10或x=30（舍去）.

故售價定為60元時，進貨400個.

21． 設DE的長為x cm，則AE=（9－x） cm，BE=DE=x cm.

在直角三角形ABE中，AE2+AB2=BE2，即（9-x）2+32=x2.解得x=5.

22． （1） 由Δ=（-2 p）2-4×5×5q=0，解得q= p2.

在方程x2+px+q=0中，Δ′=p2-4q=p2-4× p2= p2.

因p≠0，故Δ′＞0，所以x2+px+q=0有兩個不相等的實數根.

（2） 解方程x2+px+q=0，得x= = .

由｜x1｜＜｜x2｜，可得x1=- |p|，x2=－ |p|，且p≠0.故x1∶x2=2∶3.

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