相交線與平行線中的數學思想

同學們，在“相交線與平行線”這一章里，包含著很多數學思想方法，大家注意到了嗎？下面我們就來歸納一下.

1. 方程思想

幾何中常有一些求線段的長度或求角的大小的問題，對于這一類問題，我們可以借助題中的已知量與未知量之間的關系，想辦法建立方程進行求解.

例1如圖1，已知FC∥AB∥DE，∠α∶∠D∶∠B=2 ∶3 ∶ 4，求∠α、∠D、∠B的大小.

[分析：]由已知∠α ∶ ∠D ∶ ∠B=2 ∶ 3 ∶ 4，可以分別設∠α、∠D、∠B為2x°、3x°、4x°，再利用已知條件列出方程進行求解.

解： 設∠α=2x°，∠D=3x°，∠B=4x°.

因為 FC∥AB∥DE，所以 ∠2+∠B=180°，∠1+∠D=180°.從而有∠2=180°-∠B=180°-4x°，∠1=180°-∠D=180°-3x°.

又因為∠1+∠2+∠α=180°，所以有

（180-3x）+（180-4x）+2x=180.

解得x=36.

所以∠α=2x°=72°，∠D=3x°=108°，∠B=4x°=144°.

[評注：]解決這類問題，不僅要熟悉圖形的性質，還要善于進行等量代換，把未知量和已知量逐步聯系起來.當解決問題的過程比較復雜時，思路要清晰，語言表達要嚴密.

2. 轉化思想

在幾何推理中，已知條件和要求的結論之間常常需要轉化.轉化條件、轉化問題是常用的推理形式，必要時還要添加輔助線進行轉化.

例2如圖2，BD⊥AC于D，FG⊥AC于G，ED∥BC.試判斷∠1與∠2的關系，并說明理由.

[分析：]觀察圖形，我們不能迅速找到∠1和∠2的關系，但由BD⊥AC于D，FG⊥AC于G，可得BD∥FG，則∠2=∠3.由ED∥BC，可得∠1=∠3.∠1和∠2都與∠3有關，我們可以借助∠3進行轉化.

解： 因為BD⊥AC，FG⊥AC，所以∠BDC=∠FGC=90°.故BD∥FG，從而可知∠2=∠3.

因為ED∥BC，所以∠1=∠3.

故∠1=∠2.

[評注：]這道題涉及“相交線與平行線”這一章中的重要知識點，大家要能靈活運用平行線的性質、判定定理.要看準“三線八角”，分清平行線的判定與性質，并能通過圖形將條件靈活轉化.

例3如圖3，一條公路GA修到湖邊時，要拐彎繞湖而過.第一次拐彎形成的角是∠A，且∠A=120°；第二次拐彎形成的角是∠ABC，且∠ABC=150°；第三次拐彎形成的角是∠C，這時的道路CD恰好和第一次拐彎之前的道路GA平行.你知道∠C是多少度嗎？

[分析：]解答此題需要借助輔助線把這三個角聯系起來.既然題目中有平行關系，那么我們就要想辦法把平行線和角聯系起來.

解： 如圖3，過點B作EF∥GA，則∠1=∠A=120°.

因為∠ABC=150°，所以∠2=∠ABC-∠1=150°-120°=30°.

因為GA∥CD，EF∥GA，所以EF∥CD.

故∠2+∠C=180°.

從而可得∠C=180°-∠2=180°-30°=150°.

[評注：]在解題的過程中，有時僅利用現有條件不容易得出結果，這時我們就要巧妙添加輔助線，將問題與條件進行轉化.

3. 分類討論思想

在幾何題中，有些題目未給出圖形，這時我們就要結合題意畫出圖形，再解決問題.這一過程常具有多樣性，我們需要分類討論.

例4在∠ABC和∠DEF中，DE∥AB，EF∥BC，請你嘗試探索∠ABC和∠DEF的關系.

[分析：]這道題的圖形有很多種不同的畫法，但題中的兩個角的關系只有兩種，如圖4（1）和圖4（2）.

解： 如圖4，有兩種不同的情況.

在圖4（1）中，因為DE∥AB，EF∥BC，所以∠ABC=∠1，∠1=∠DEF.故∠ABC=∠DEF.

在圖4（2）中，因為DE∥AB，所以∠ABC+∠1=180°.又因為EF∥BC，所以∠1=∠DEF.故∠ABC+∠DEF=180°.

[評注：]題中沒有給出圖形，我們畫圖時要考慮可能存在的所有情況，以免漏解.

【責任編輯：潘彥坤】

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