多姿多彩的平行四邊形折疊問題

折疊問題是操作與運算相結合的問題，它可以產生許多美麗的圖案.通過這類問題還可以探究圖形存在的某些內在的規律，并進行有關計算.解決折疊問題的關鍵，是根據軸對稱的性質，弄清折疊前后哪些量變化了、哪些量沒有變，弄清折疊前后哪些條件可以利用.本文將以中考題為例，談談平行四邊形折疊問題的類型和解法，供同學們參考.

[一][平行四邊形的折疊]

例1（2007年·長春）如圖1，將平行四邊形紙條ABCD沿EF折疊，點A、B分別落在A′、B′處，線段FB′與AD交于點M．

（1）試判斷△MEF的形狀，并證明你的結論．

（2）如圖2，將紙條的另一部分CFMD沿MN折疊，點C、D分別落在C′、D′處，且使MD′經過點F.試判斷四邊形MNFE的形狀，并證明你的結論．

（3）當∠BFE=_____時，四邊形MNFE是菱形．

解析：（1）△MEF為等腰三角形，利用“∠MFE=∠BFE=∠MEF”來證明即可.（2）四邊形MNFE是平行四邊形，利用“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”或“兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形”來證明就可以.與（1）同理，可證△FMN也為等腰三角形.從而ME=MF=NF.或利用兩等腰三角形頂角相等則底角也相等來證明（因AD∥BC，∠EMF=∠MFN，故∠FMN=∠MFE）.（3）若四邊形MNFE是菱形，則∠EFM=∠NFM，又∠EFM=∠EFB，且∠EFM+∠NFM+∠EFB=180°，所以∠BFE=60°．

評注：解結論探究型題時，要善于根據圖形和已知條件，先由觀察直觀得出一些結論.

[二][矩形的折疊]

例2（2006年·郴州）如圖3，矩形紙片ABCD的邊長分別為a、b（a

（1）猜想兩折痕PQ、MN之間的位置關系，并加以證明．

（2）如圖6，若∠QPC的角度在每次翻折的過程中都為45°.每次翻折后，非重疊部分的四邊形C′QDM及四邊形BPA′N的周長與a、b有何關系？為什么？

解析：（1）觀察圖5，可以猜想PQ∥MN，利用“內錯角相等，兩直線平行”即可證明.

因為AD∥BC，所以∠AMP=∠MPC，由翻折可得：∠MPQ=∠1/2MPC，∠NMP=∠1/2AMP，所以∠MPQ=∠NMP，故PQ∥MN．

（2）當∠QPC=45°時，易知四邊形PCQC′是正方形，四邊形C′QDM則是矩形．因為C′Q=CQ，故C′Q+QD=a，所以矩形C′QDM的周長為2a．

同理可知矩形BPA′N的周長為2a.所以兩個四邊形的周長都為2a，與b無關.

評注：和矩形有關的折疊問題是中考的一個熱點，解題時，通常根據軸對稱及矩形的有關性質，將條件或結論轉移到三角形中.

[三][菱形的折疊]

例3（2007年·贛州）在菱形ABCD中，已知∠B=45°，AE是BC上的高.將△ABE沿著AE所在的直線翻折，得△AB′E，如圖7. AB′交CD于F.

（1）請你判斷△AFD的形狀，并說明理由.

（2）若菱形邊長為2，試求△AB′E與四邊形AECD的重疊部分AECF的面積.

解析：（1）∵四邊形ABCD是菱形，∠B=45°，

∴∠BAD=∠BCD=135°.

∵△ABE與△AB′E關于AE對稱，且∠BAE=45°，

∴∠BAB′=90°.

∴∠FAD=∠BAD-∠BAB′=135°-90°=45°.

又∠D=45°，故△AFD是等腰直角三角形.

（2）∵△ADF與△ABE都是等腰直角三角形，AB=AD，

∴△ADF≌△ABE.