多角度地深化四邊形的知識

作者簡介 陳德前，江蘇省特級教師，江蘇省興化市教育局教研室副主任，中國管理科學(xué)研究院學(xué)術(shù)委員會特約研究員，江蘇省考試研究會會員，江蘇省教育學(xué)會中學(xué)數(shù)學(xué)教育專業(yè)委員會委員，泰州市教育學(xué)會數(shù)學(xué)教育委員會委員，泰州市人民政府兼職督學(xué)，泰州市數(shù)理化學(xué)會會員，泰州市教育學(xué)會副秘書長.

《四邊形》一章的知識點比較多，應(yīng)用也比較廣泛，許多內(nèi)容容易混淆.要學(xué)好這一章，多角度地深化知識是關(guān)鍵.我們可以從以下幾個方面去深化理解本章的知識點.

[一][從知識結(jié)構(gòu)的角度深化]

本章的知識結(jié)構(gòu)具有層次性，體現(xiàn)了特殊與一般的關(guān)系，理清它們之間的關(guān)系是學(xué)好本章知識的關(guān)鍵之一．

例1（2007年·杭州）我們學(xué)習(xí)了四邊形和一些特殊的四邊形，圖1表示了在某種條件下它們之間的關(guān)系．已知①、②兩個條件分別是：①兩組對邊分別平行；②有且只有一組對邊平行.那么，請你標上其他6個數(shù)字序號相對應(yīng)的條件．

解析：本題考查對《四邊形》一章知識結(jié)構(gòu)的掌握情況.只有對本章知識有一個全面的了解，才能正確解答．要注意掌握每個特殊四邊形的特點，尤其是弄清矩形、菱形、正方形之間的區(qū)別和聯(lián)系.答案為：③有一個內(nèi)角為直角；④一組鄰邊相等；⑤一組鄰邊相等；⑥有一個內(nèi)角為直角；⑦兩腰相等；⑧一條腰垂直于底邊．

[二][從構(gòu)造反例的角度深化]

例2已知四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點O.從“①AB∥CD，②AB=CD，③AD∥BC，④AD=BC，⑤∠A=∠C，⑥∠B=∠D，⑦AO=CO，⑧BO=DO，⑨∠A=∠B，⑩∠B=∠C”中任取兩個加以組合，能推出四邊形ABCD是平行四邊形的有______（用代號填空）.

解析：能推出四邊形ABCD是平行四邊形的有：①、②，①、③，①、⑤，①、⑥，②、④，③、④，③、⑤，③、⑥，⑤、⑥，⑤、⑧，⑥、⑦，⑦、⑧．而由②、⑤或②、⑥（即一組對邊相等，一組對角相等）不能推出四邊形ABCD是平行四邊形.可構(gòu)造反例如下：如圖2（1），在△ABC中，AB=BC，D為AC上的一點，連接BD.將△ABC沿BD剪開，然后將△BDC反轉(zhuǎn)，使△BDC的頂點B、D分別與△ABD的頂點D、B重合，得到圖2（2）.顯然，四邊形ABCD滿足AB=CD，∠A=∠C，但四邊形ABCD不是平行四邊形．

[三][從一題多解的角度深化]

平行四邊形的性質(zhì)和判定方法較多，容易混淆.采用一題多解的方法，不僅可以鞏固知識，而且能提高解題能力.

例3如圖3，#9649;ABCD中，E、F分別是AB、CD的中點.試說明：（1）△AFD≌△CEB；（2）四邊形AECF是平行四邊形．

解析：由SAS不難證得（1）.本題（2）的說明方法較多，可用兩組對邊分別平行、兩組對邊分別相等、一組對邊平行且相等、兩組對角分別相等等來說明．讀者不妨自己試試.

評注：通過多種解法，不但使我們?nèi)嬲莆樟似叫兴倪呅蔚男再|(zhì)和判定，又使我們學(xué)會了各種解題方法.平時做完題后，要想想還有沒有其他解法，并嘗試著找出多種解法，這是非常有益的.

[四][從思想方法的角度深化]

四邊形與平行四邊形、梯形，以及平行四邊形與矩形、菱形、正方形，都體現(xiàn)了一般與特殊的關(guān)系.將梯形分割成三角形和平行四邊形（包括特殊的平行四邊形），體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想．下面通過一題多解，談?wù)剬⑻菪无D(zhuǎn)化為三角形和平行四邊形的常用方法．

例4如圖4，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，BD⊥CD，且∠C=60°.若AD=5 cm，求梯形的腰長．

轉(zhuǎn)化方法1：元素轉(zhuǎn)化

解法1：∵BD⊥CD，∠C=60°，∴∠CBD=30°．

在等腰梯形ABCD中，∠ABC=∠C=60°，故∠ABD=∠CBD=30°．

∵AD∥BC，

∴∠ADB=∠CBD．∴∠ABD=∠ADB．

從而AB=AD=5 cm．

轉(zhuǎn)化方法2：作高轉(zhuǎn)化

解法2：如圖5，過D點作DE⊥BC，垂足為E．在Rt△CDE中，∠CDE=30°，CE=1/2CD．又CE=（BC-AD），故CD=BC-AD．即BC=CD+AD．又在Rt△BCD中，∠CBD=30°，所以CD=1/2BC，BC=2CD．故2CD=CD+AD．則CD=AD=5 cm．

轉(zhuǎn)化方法3：平移對角線轉(zhuǎn)化

解法3：如圖6，連接AC，過D作DE∥AC交BC的延長線于E.易知四邊形ACED是平行四邊形，DE=AC=BD．因BD⊥CD，∠BCD=60°，所以∠CBD=30°，∠E=∠CBD=30°.而∠CDE=180°-∠E-∠DCE=30°，故CD=CE=AD=5 cm．

評注：將梯形轉(zhuǎn)化為三角形和平行四邊形的方法較多，在解題中要針對題目的特點靈活選用．