四邊形的“一般與特殊”，“性質與判定”

[一、四邊形的“一般與特殊”]

在幾何中，四邊形的一般定義為：四條首尾相接的線段組成的圖形叫做四邊形.組成四邊形的四條線段，叫做四邊形的四條邊.按照四條邊是否共面，可以把四邊形分為兩類：四條邊在同一平面內的四邊形叫做平面四邊形；四條邊不在同一平面內的四邊形叫做空間四邊形.例如，把一張方形的紙鋪平，它的四邊就組成一個平面四邊形；把這張紙沿對角線折一下，使對角線兩旁的部分不在同一平面內，這張紙的四條邊就組成了一個空間四邊形（如圖1）.初中數學中主要討論平面四邊形.

平面四邊形又可以進一步分為兩類：畫出平面四邊形的任意一條邊所在直線時，如果整個四邊形都在直線的同側，則它是凸四邊形（如圖2（1））；否則它是凹四邊形（如圖2（2））.初中數學中討論的四邊形主要是凸四邊形.

對于一般的四邊形，四條邊只要能夠首尾相接即可，并無其他關于邊的位置或長短的要求.梯形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形則不僅都是四邊形，并且各自滿足一定的附加條件.像這樣滿足一定附加條件的四邊形稱為特殊的四邊形.進一步可以看出，矩形、菱形和正方形又是滿足一定附加條件的平行四邊形，即它們是特殊的平行四邊形.

[二、四邊形的“性質與判定”]

通常，教科書中在給出一種圖形的定義后，會繼續討論由這個定義能進一步推出哪些結論，即得出這種圖形的一些性質.這些性質往往是經常用到的主要性質.這種圖形很可能還有一些其他性質，教科書則未曾涉及.例如，平行四邊形除具有教科書中所說的“對邊平行且相等”“對角相等”“對角線互相平分”等主要性質之外，還有“對角線的平方和等于四條邊的平方和”這個性質.它可以證明如下.

如圖3，作#9649;ABCD的高線DE，CF. 利用全等三角形可以證明AE=BF.

AC²=AF²+CF²=（AB+BF）2+BC²-BF²=AB²+BC²+2AB·BF，①

BD²=BE²+DE²=（AB-AE）2+DA²-AE²=AB²+DA²-2AB·AE.②

∵AB=CD，AE=BF，

∴①+②，得AC²+BD²=AB²+BC²+CD²+DA².

實際上，圖形的所有性質都是由圖形定義所確定的.雖然定義本身并未直接表述出所有性質，但是定義中已經隱含了它們.故而以定義為出發點，可以逐步推導出所有性質.

圖形的“性質”和“判定”，是兩類不同的問題.討論一種圖形的性質，是在確定對象已經是這種圖形的前提下進行的；討論一種圖形的判定，是為確定對象是這種圖形而進行的.有時，在分析某個問題的過程中，兩類問題都會出現，如先判定某對象是一種特定的圖形，再推導出它的一些性質.

是不是只要一種圖形有某條性質，就可以反過來把這條性質當成這種圖形的一個判定條件呢？不是！并非一種圖形的每個性質都可以拿來作為這種圖形的判定條件.例如，正方形具有“對邊平行，鄰邊相等”的性質，但是僅根據一個四邊形滿足“對邊平行，鄰邊相等”不能判定它是正方形，而只能判定它是菱形.

然而，“對邊平行，鄰邊相等，鄰角相等”是正方形所獨有的性質，因此它能作為正方形的判定條件.又如，矩形具有“對角線相等”的性質，但是僅根據一個四邊形的“對角線相等”并不能判定這個四邊形是矩形.圖4中的等腰梯形和箏形都是對角線相等的四邊形，但它們不是矩形.如果一個四邊形“對角線相等”且“對邊平行”，則它一定是矩形，即一個四邊形“對邊平行，對角線相等”可以作為矩形的一個判定條件.總之，一種圖形的判定條件，必須是只有這種圖形才能夠滿足的條件.