消點法的運用（一）

張景中　彭翕成

幾何題千變萬化，解無定法，這似乎已經成為2 000年來人們的共識.但人們還是沒有放棄，一直都在尋找一種“通法”.這里所說的通法，并不是說它能夠解決所有的幾何問題，而是指它能夠解決幾何中的很大一類問題.下面我們要介紹的就是這樣的一種通法——消點法.一般說來，只要題目中的條件可以用尺規作圖表示出來，并且結論可以表示成常用幾何量的多項式形式（常用幾何量包括面積、線段及角的三角函數），那么，就總可以用消點法一步一步地做出解答.

首先，我們用一個例子來介紹什么是消點法.

例1如圖1，在?荀ABCD中，E、F分別為AD、CD的中點.連接BE、BF，它們分別交AC于點R、T.求證：R、T分別為AC的三等分點.

很多人在做幾何題的時候，即使書本上已經畫好了幾何圖形，仍然會在草稿紙上重新畫一遍.這樣做，一是擔心添加輔助線的時候把書本上的圖形搞亂了，二是重新作圖也有利于理解題目意思.其實，幾何題難就難在不知道如何作輔助線.作輔助線屬于人類獨有的高級智慧，既需要平時大量的積累，更需要解題時的“靈機一動”.能不能避開作輔助線呢？也是可以的.消點法就不需要作輔助線，但要求深入理解題目意思.

下面我們來重新作圖，要特別注意作圖的順序喲！

第一步：在平面上作A、B、C三點.這三個點是任意畫的，不受約束.當然，A、B、C三點不能在一條直線上，否則下面的圖形就沒法畫下去了.

第二步：作點D，使得AD∥BC，DC∥AB.

第三步：連接AC，并作出AD中點E和CD中點F.

第四步：連接BE交AC于點R，連接BF交AC于點T.

在該圖形中的所有點中，我們把A、B、C三點稱之為“自由點”，而將其他點稱之為“約束點”.之所以這樣劃分，是因為一旦A、B、C三點位置確定，那么其他點的位置也隨之確定，沒有變動的可能了.

為了證明點T是AC的三等分點，從圖形可以看出需要證明= 2.我們的思路是：要證明的等式左端牽涉到好幾個點（A、C、T），但右端卻只有數字2，如果想辦法把字母A、C、T都消掉，不就水落石出了嗎？在這種思想的指導下，我們首先著手從式子 中消去最晚出現的點T.

用什么辦法消去一個點，這要看此點的來歷和它出現在什么樣的幾何量中.點T是AC、BF相交產生的，用我們前面所介紹的共邊定理共邊定理的內容是：若直線AB和PQ相交于點M，則有：= 可得：=.這就成功地消去了點T.此時卻多出了個點F.下一步就要消去點F.根據點F的來歷“點F是CD的中點”，則S△CBF =S△BCD .由點F是CD上的點，且AB∥DC，則有S△ABF = S△ABC.接下來消去點D.根據點D的來歷“AD∥BC”，則S△BCD = S△ABC .于是一個簡潔的證明產生了：= = = 2?= 2.同理，可再證點R是AC的三等分點.

現在我們來總結一下.上題解題的順序和點的排列大有關系.題目的結論是= 2.怎么處理這個式子呢？解二元一次方程組有“消元法”.把未知數一個一個地消去，消到后面就解決了.這個方法在解幾何題的時候也可以借用，不妨稱之為“消點法”.消點法，就是從我們要處理的式子中消去約束點.約束點消完了，問題往往就水落石出了.消約束點有個順序：后產生的先消去.在式子 中，點T是最后產生的，就先消點T.怎樣消去點T ？就要查查點T的來歷，正所謂“解鈴還須系鈴人”.依此類推即可.如果在消點的過程中，出現了新的約束點，也要按照順序消除.一般來說，自由點是不需要專門想辦法消掉的，到一定的時候，自然就會消掉.

例2如圖2，一個不規則四邊形ABCD，其中AG = GH = HD，BE = EF = FC.分別連接EG、FH.求證：S四邊形ABCD = 3S四邊形 GEFH.

證明：根據作圖順序，將點分為兩個級別.第一級別：A、B、C、D；第二級別：G、E、F、H.

我們先消去G、F兩個點.

S四邊形GEFH = S△GEH + S△EFH =S △AEH +S△CEH .

再消去E、H兩個點. S△AEH +S△CEH =S四邊形AECH =S△AEC +S△CHA =? S △ABC +? S△CDA =S四邊形ABCD.

所以S四邊形ABCD = 3S四邊形 GEFH.

例3如圖3，四邊形ABCD的邊AD、BC的延長線交于點E，對角線AC、BD的中點分別為F、G，求 .

解析：我們將題目中的點分為兩個級別.第一級別：A、B、C、D；第二級別：E、F、G.下面給出求法.

S△EFG = S△EAG - S△EAF - S△AFG （S△ADG + S△EDG） -S△EAC -S△ACG = S△ADB +S△EDB -S四邊形AGCE =S△ABE -S四邊形AGCES四邊形 ABCG? S四邊形ABCD =S四邊形ABCD.所求的值為 .

在A、B、C、D四點確定之后，E、F、G三點也隨之確定，而E、F、G三點之間并無明確的先后順序.

在很多題目中，并不需要將點的級別分得很細.譬如在例1中，完全可以將A、B、C、D看成是一個級別，因為我們對平行四邊形的性質已經比較了解，沒有必要在熟悉的地方再做文章.又如在例3中，也不必將E、F、G再分成幾個級別.熟練之后，甚至不需要再在稿紙上作圖.眼睛一掃，題目各點的來龍去脈全部都清楚了，因為很多題目的條件也是按照作圖順序進行敘述的.這也是一些解題高手能夠記住很多題目的原因.下一期，我們將列舉更多的例子，繼續介紹消點法的運用.Y

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”