消點法的應用（二）

張景中　彭翕成

在上一期我們向大家介紹了消點法，并對消點法的應用舉例進行說明.消點法是一個普遍有效的解題方法.消點法解題的要點如下：

（1）把題目中涉及的點按作圖順序排隊.作圖過程中先出現的點排在前面，后出現的點排在后面.

（2）把要解決的問題轉化成對某個式子進行處理、化簡的問題.

（3）從要化簡的式子中，逐步消去由約束條件產生的點，后產生的先消去.

（4）消點時，一方面應用該點產生的幾何條件，一方面對照圖形.注意發現圖形給我們提示的捷徑.

掌握了消點法之后，做幾何題時，你便會胸有成竹了.你可以嘗試著解下面這道題.

消點法雖然不能夠解決所有幾何問題，但我們可以將它當做解題的指導方針.而且，我們還可以將消點法教給計算機，讓計算機來幫助我們解題.這就是自動推理.

計算機是人的學生，它的本領是人教的.它是笨學生，不教不會；但它又是好學生，會牢牢記住你教給它的方法，一絲不茍地按寫好的程序去做，如果你循循善誘，它又能青出于藍而勝于藍.計算機解題靠人教.人會解一道題，把方法教給計算機，計算機就會解這道題.這道題中的數字換成字母，成了更一般化的一個題型.把處理這個題型的竅門教給計算機，計算機就會解這個題型的全部題.人掌握了一類題目的規律，把這規律總結提煉成有章可循的算法，實現為程序，計算機本領就會更大，會解這一類題了.人推演、計算、論證容易走神或出錯，時間長了，所掌握的方法甚至有可能遺忘.但計算機一旦學會一套方法，就不會忘記，也很少出錯，并且做題做得飛快！

幾何題有計算題、證明題，還有作圖題.它們雖然各有特點，但又是相通的.

計算和作圖都要有個道理.講清楚道理就是證明.古希臘人研究幾何最講究證明.中國古代的幾何學則講究計算，把畫圖和推理都歸結為計算，叫做寓理于算.計算、作圖和證明，問題的形式不同，卻也有相通之處.三類問題的前提，都可以用幾何圖形來表示.證明可以轉化為計算.要證明兩條線段相等，只要算出兩者的比為1或差為0就行了.要說明計算是準確的，作圖過程是合理的，歸根結底要證明.三類問題在解決過程中都要推演論證，推演論證所用的規則又是一致的，這就是三者的相通之處.

幾千年來，人們解幾何問題的招數層出不窮，爭奇斗艷.概括起來，不外這四類：檢驗、搜索、約化和轉換.近50多年來，數學家和計算機科學家費盡心思，循循善誘，把個中奧秘向計算機傳授，使得計算機解幾何題的能力有了長足的提高.除了靈機一動添加輔助線，或千變萬化的問題轉換之外，前三種招數計算機都學得十分出色了.用計算機幫助研究幾何，甚至代替老師指導學生學習幾何，已經從古老的夢想變為了現實.

許多幾何問題包含了大量的信息.人在進行解題思考時能借助于直覺和經驗，抓住最關鍵的信息進行解答；計算機卻靠機械地搜索，大魚小魚一網打盡，工作量就非同小可了.譬如一個三角形和它的三條高以及垂心，這是個很簡單的幾何圖形，用計算機搜索幾何信息，居然發現圖中有105組成比例的線段！

計算機在搜索中得到的有用信息很多，但沒用的信息更多.大量的操作才能從許多信息中尋找出有用的結論，難度就好比沙里淘金.這種一網打盡、竭澤而漁的搜索式推理，并不是什么新的發明，而是一種古老的機械化推理設想.在沒有計算機的時代，也只能想想而已，因為工作量太大了.一旦有了計算機，科學家就希望將之付諸實踐.現在，這個夢想已經成為現實.這個成功來之不易，是許多科學家多年努力的成果.其中，中國科學家的工作起了決定性的作用.而他們用到的“武器”，恰恰就是我們在前面連載文章中介紹的共邊定理、共角定理、消點法這些東西，你沒有想到吧！

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文