談談規律探索題的解法

陳德前

規律探索問題是一類常見的問題,也是同學們感到比較棘手的問題,下面以2008年中考試題為例,來談談這類問題的解法.

例1(宜賓市)如圖1,將一列數按圖中的規律排列下去,那么問號處應填的數字為.

觀察可以發現,4 = 1 + 3,6 = 4 + 2,9 = 6 + 3,13 = 9 + 4,19 = 13 + 6,于是可以猜想,從第4個數起,每個數都是它前面的一個數和前面的第三個數的和,于是問號處應填的數字為19 + 9 = 28.

例2 (泰州市)讓我們輕松一下,做一個數字游戲:

第一步:取一個自然數n1 = 5,計算n12 + 1得a1;

第二步:算出a1的各位數字之和得n2,計算n22 + 1得a2;

第三步:算出a2的各位數字之和得n3,計算n32 + 1得a3;

……

依此類推,則a2 008 = .

這是一道設計新穎?具有一定挑戰性的好題,解題的關鍵是從特殊情況入手,找出規律,再應用規律去解決問題.經過計算可以發現,a1 = 25 + 1 = 26,a1的各位數字之和n2 = 2 + 6 = 8,a2 = 64 + 1 = 65,a2的各位數字之和n3 = 6 + 5 = 11,a3 = 121 + 1 = 122,a3的各位數字之和n4 = 1 + 2 + 2 = 5,a4 = 25 + 1 = 26 …… 依此類推,可見這是一個按3個數為一個周期的循環數列,a2 008與a1的值相同,為26.

例3 (濰坊市)圖2中的每個圖是由若干個圓點組成的形如四邊形的圖案,當每條邊(包括頂點)上有n(n ≥ 2)個圓點時,圖案的圓點數為Sn.

n = 2,S2 = 4 n = 3,S3 = 8n = 4,S4 = 12

圖2

按此規律推斷Sn關于n的關系式為:.

我們來根據給出的3個圖形探究規律,看看哪些是不變量,哪些是變量,變量的變化規律是什么.在已知的3個圖形中,四邊形的四個頂點各有一個圓點;第1個圖形中除了四個頂點外,邊上沒有圓點,與序號n = 2對應可寫成4 + (2 - 2) × 4 = 4;第2個圖形中除了四個頂點外,邊上有各有1個圓點,與序號n = 3對應可寫成4 + (3 - 2) × 4 = 8;第3個圖形中除了四個頂點外,邊上各有2個圓點,與序