如何探索數(shù)字問題中的規(guī)律

劉　軍

探索規(guī)律問題是近幾年考試的熱點,數(shù)字問題出現(xiàn)的頻率較大,現(xiàn)將探索數(shù)字問題的規(guī)律題分類說明.

一?探索個位數(shù)問題

例1 觀察下列等式:21 = 2,22 = 4,23 = 8,24 = 16,25 = 32,26 = 64,27 = 128,…通過觀察,用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律確定22 006的個位數(shù)字是.

通過計算發(fā)現(xiàn),在計算2的冪的運算時,個位數(shù)四個四個地循環(huán),因為,2006 = 4 × 501 + 2所以22 006的個位數(shù)和22的個位數(shù)相同,即22 006的個位數(shù)是4.

說明:在計算的時候要注意觀察個位數(shù)字的變化規(guī)律,找出循環(huán)的周期,得出一般規(guī)律:指數(shù)被4整除時,個位上的數(shù)字與24個位上的數(shù)字相同,指數(shù)被4整除余1時,個位上的數(shù)字與21的個位上的數(shù)字相同,依此類排.

二?探索特殊數(shù)的乘方問題

例2 你能很快算出2 0052 嗎?

為了解決這個問題,我們考察個位數(shù)為5的自然數(shù)的平方,任意一個個位數(shù)為5的自然數(shù)可用代數(shù)式表示為10n + 5,問題即求(10n + 5)2 的值(n為自然數(shù)),試分析n = 1,n = 2,n = 3,…這些簡單情況,從中探索其中的規(guī)律,并歸納?猜想出結(jié)論(在下面空格內(nèi)填上你的探索結(jié)果).

(1) 通過計算,探索規(guī)律:

152 = 225,可寫成100 × 1 × (1 + 1) + 25;

252 = 625,可寫成100 × 2 × (2 + 1) + 25;

352 = 1 225,可寫成100 × 3 × (3 + 1) + 25;

452 = 2 025,可寫成100 × 4 × (4 + 1) + 25;

752 = 5 625,可寫成.

852 = 7 225,可寫成.

……

(2)從第(1)題的結(jié)果,歸納?猜想得:

(10n + 5)2=.

(3)根據(jù)上面的歸納?猜想,請算出:2 0052 = .

解:(1) 100 × 7 × (7 + 1) + 25 100 × 8 × (8 + 1) + 25;

(2) 100n(n + 1) + 25( n為自然數(shù))

(3) 100 × 200 × (200 + 1) + 25 = 4 020 025.

說明:本例的實質(zhì)是先用代數(shù)式表示出一般情況,再求特殊情況下代數(shù)式值的計算規(guī)律,歸納出一般性結(jié)論,再求這個一般性結(jié)論中代數(shù)式的值,體現(xiàn)了“特殊 — 一般 — 特殊”的思想方法,這正是用字母代數(shù)(從特殊到一般)后再求代數(shù)式值(從一般到特殊)這種思想方法的反復(fù)應(yīng)用.

三?探索數(shù)表中數(shù)的規(guī)律問題

例3 圖1是一個有規(guī)律排列的數(shù)表,請用含n的代數(shù)式(n為正整數(shù))表示數(shù)表中第n行第n列的數(shù): .

通過觀察數(shù)表中的第一列,發(fā)現(xiàn)每一個數(shù)都是一個數(shù)的平方的形式,并且第n行是n的平方. 而第n行第n列的數(shù)是第n行的第n個,即數(shù)字是:n2 - (n - 1) = n2 - n + 1.

解:第n行第n列的數(shù)是 n2 - n + 1.

四?探索數(shù)列中數(shù)的規(guī)律問題

例4 人民公園的側(cè)門口有9級臺階,小聰一步只能上1級臺階或2級臺階,小聰發(fā)現(xiàn)當臺階數(shù)分別為1級?2級?3級?4級?5級?6級?7級……逐漸增加時,上臺階的不同方法的種數(shù)依次為1?2?3?5?8?13?21……這就是著名的斐波那契數(shù)列. 那么小聰上這9級臺階共有種不同方法.

這一列數(shù)的特點是:從第三個數(shù)起,每一個數(shù)是前面兩個數(shù)的和. 8級臺階有13 + 21 = 34(種)方法,9級臺階有34 + 21 = 55(種)不同的方法.

說明:這里不能用公式表示這列數(shù)的一般性規(guī)律,但根據(jù)“每一個數(shù)是前面兩個數(shù)的和”這一個規(guī)律可以將前面的數(shù)都寫出,這樣就可求出所要求的某一個數(shù),從而得到上某級臺階共有幾種不同方法.

例5 瑞士中學(xué)教師巴爾末成功地從光譜數(shù)據(jù),,,,…中得到巴爾末公式,從而打開了光譜奧妙的大門,按這種規(guī)律寫出第7個數(shù)據(jù)是 .

先認真觀察所給數(shù)據(jù)的分子可知分別是按規(guī)律32,42,52,62,…排列的,再看每個分數(shù)的分母可發(fā)現(xiàn)均比對應(yīng)的分子小4,即所給數(shù)據(jù)可分別按上述規(guī)律寫成:= , = ,= ,= ,… 故可知第7個數(shù)據(jù)應(yīng)是 = ,故填.

說明:本處運用了歸納思想解題,利用它常可以從看似“雜亂”的問題中找出內(nèi)在的規(guī)律,使問題變得有章可循.

注:本文中所涉及到的圖表?注解?公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文