握手握出的數學問題

康　松

學校召開運動會,參加1 500m長跑的第一組的9位同學來到檢錄處點名,他們互相握手致意. 檢錄處的王老師看得眼花繚亂,不過他卻發現每兩位同學之間都握了一次手. 于是,王老師給同學們提出了一個問題:“誰能說出9位同學一共握了多少次手?”你能為他們解答這一問題嗎?讓我們一起來探究一下.

這其實是一個數學問題,所以應該考慮用數學的方法解決. 我們可以給這9位同學編上號,從第1位同學到第9位同學,分別是1至9號. 那么,要想解答這一問題,方法起碼有3種.

第一種方法是沒有規律地亂數,但這樣很容易數錯,很可能會產生遺漏或是重復的情況.

第二種方法是從左往右按順序有規律地數,即:

(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(1,7),(1,8),(1,9);

(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(2,7),(2,8),(2,9);

(3,4),(3,5),(3,6),(3,7),(3,8),(3,9);

(4,5),(4,6),(4,7),(4,8),(4,9);

(5,6),(5,7),(5,8),(5,9);

(6,7),(6,8),(6,9);

(7,8),(7,9);

(8,9).

所以他們握手的次數可以這樣計算:8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 36.

第三種方法是分析推理:因為每位同學都要與另外8位同學握手,也就是說每位同學都要握8次手,那么9位同學就一共要握8×9=72次手. 但是,因為每兩位同學之間握的一次手實際上都統計了兩次,比方說我們統計了一次1號同學與2號同學握手,又統計了一次2號同學與1號同學握手,所以實際握手次數是72 ÷ 2 = 36.

比較一下可以知道,顯然是第三種方法最簡捷,也最準確. 比方說10位同學之間都握了一次手,那么握手的次數就應該是9 × 10 ÷ 2 = 45. 而且,即使有很多人握手,我們同樣可以根據這一規律進行計算:如果一共有n個人之間互相握手,那握手的總次數就是.

這一規律可不是只能用來計算握手的次數,在代數與幾何中都能……