一個絕對值不等式求解的誤區

何　峰

問題 若不等式|a-lnx|+ln33x+2>0在x∈［16,13］上恒成立，求實數a的取值范圍.

解法1：∵當x∈［16,13］時，ln33x+2∈［0,ln65］，且|a-lnx|≥0，∴當x∈［16,13)時，a∈R；當x=13時，a∈R且a≠ln13，兩種情形取交得a的取值范圍是a>ln13或a

解法2：|a-lnx|+ln33x+2>0,移項變形為|a-lnx|>-ln33x+2,

∴a-lnx>-ln33x+2或a-lnx

即a>lnx-ln33x+2=ln(x2+23x)或

aln13或a

兩種解法的過程都沒錯，但結果不同，說明兩種解法至少有一種所用的知識有問題.經過分析可知，解法1是沒問題的，結果無疑是正確的，那解法2就肯定是錯誤的，問題是錯在哪里?錯因是什么?為了弄清本質，我們先給出一個最原始的解法.

解法3：|a-lnx|+ln33x+2>0移項變形為|a-lnx|>-ln33x+2，去絕對值得a-lnx≥0，

a-lnx>-ln33x+2，或

a-lnx<0，

a-lnx

a>lnx-ln33x+2或lnx>a，

a

a>ln(x2+23x)或x>ea，

a

當ea≥13,即a≥ln13時，x∈［16,13］(-∞,ea］，ln(x2+23x)的最大值為ln13,∴a≥ln13，取交得a≥ln13;

當ea≤16即a≤ln16時，x∈［16,13］(ea,+∞］，ln(1-23x+2)的最小值為ln15,

∴a≤ln15，取交得a≤ln16;

當16

23ea),∴a>ln(e2a+23ea),解得a

x∈［ea,13］，ln(1-23x+2)的最小值為

ln(1-23ea+2),∴a

幾種情形的結果合并得a的取值范圍是：a>ln13或a

13.

把解法3與解法2比較就不能發現，解法3是用絕對值的定義去絕對值，解法2是用絕對值的定義導出的公式|x|>a趚>a或x<-a去絕對值，由于公式|x|>a趚>a或x<-a在教科書上有a>0這一條件，而解法3在使用公式|x|>a趚>a或x<-a時沒考慮這一條件，這就是說，公式|x|>a趚>a或x<-a(a>0)與公式|x|>a趚>a或x<-a(a∈R)是不等價的，即按解法3，當a=0時，|x|>a趚>0或x<0趚>a或x<-a；當a<0時，|x|>a趚≥0或x<0，不等價于x>a或x<-a，但{x|x≥0,或x<0}={x|x>a，或x<-a}是正確的.這就是說，{x||x|>a}={x|x>a，或x<-a}(a∈R)是正確的，|x|>a趚>a或x<-a(a∈R)是錯誤的(只有當a>0是才是正確的)，所以，|x|>a趚>a或x<-a(a∈R)用于解不等式是對的，即形如|f(x)|>a，或|f(x)|>g(x)的不等式都無須對a,g(x)分類討論而直接使用|x|>a趚>a或x<-a(a∈R)求解，但用于放縮即加強或削弱(證明)不等式是錯誤的(只有在a>0時才可用).

由于不等式恒成立的本質是不等式的加強，所以，|x|>a趚>a或x<-a(a∈R)不能普遍使用，又由于|a-lnx|+ln33x+2>0化為|a-lnx|>-ln33x+2，且在x∈［16,13］時，-ln33x+2≤0，僅當x=13時取等號，所以，解法2是錯誤的.只能用解法1或解法3求解，其中解法1比解法3優越.

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