感悟四邊形中的數學思想

田家來

數學思想是數學的“靈魂”,是分析問題?解決問題的“金鑰匙”.我們在學習數學時,除了要注意解題經驗的積累外,還應關注數學思想的總結.現將與四邊形有關的數學思想歸納如下.

一?方程思想

例1如圖1,在矩形ABCD中,AB = 6,BC = 8.若將矩形折疊,使點C與點A重合,則折痕為EF.試求折痕EF的長.

解析: 如圖2,連接AC,AC與EF交于點O.連接AF?CE.因為沿EF折疊后點C與點A重合,所以△AEF和△CEF關于EF對稱,所以OA = OC,EF⊥AC.因為四邊形ABCD是矩形,所以AE∥FC,所以∠1 = ∠2.又OA = OC,∠AOE = ∠COF,所以△AOE ≌ △COF.所以OE = OF.所以四邊形AFCE是平行四邊形.又因為EF⊥AC,所以AFCE是菱形,所以AF = FC.在Rt△ABC中,AB = 6,BC = 8,所以AC = 10.所以OA = OC = 5.設BF = x,則CF = 8 - x,故AF = 8 - x.在Rt△ABF中,有x2 + 62= (8 - x)2,所以x = .所以CF =.在Rt△FOC中,有OF === ,所以EF = .

點評:特殊四邊形折疊問題中,求線段的長度,往往是根據折疊性質(相應的邊?角相等),通過勾股定理建立方程解決.

二?分類討論思想

例2在四邊形ABCD中,AD∥BC,AB = CD,AC與BD相交于點O,∠BOC = 120°,AD = 7,BD = 10,求四邊形ABCD的面積.

解析: 滿足條件的四邊形既可能是等腰梯形,也可能是平行四邊形,所以應分類加以討論.

(1)當四邊形ABCD為等腰梯形時,如圖3.過點D作DE∥AC交BC的延長線于點E,作DF⊥BC于點F.由∠BOC = 120°,知∠OBC = ∠OCB = ∠DEF = 30°,故DF = DE = AC = BD = 5.在Rt△BDF中,根據勾股定理,得BF = = 5,故梯形ABCD的面積 = (AD + BC)·DF = (CE + BC)·DF = BE·DF = ·2BF·DF = 25.

(2)當四邊形ABCD為平行四邊形時,如圖4.過點B作BE⊥AC于點E,由∠BOC = 120°,得∠OBE = 30°,故OE = OB = .根據勾股定理,得BE = .在Rt△BEC中,由勾股定理,得CE = = ,OC = CE - OE = 3.故△BOC的面積 = OC·BE = .而ABCD的面積為△BOC的面積的4倍,故等于15.

綜上所述,四邊形ABCD的面積為25或15.

點評:對于題中沒有給出具體圖形的題目,要對可能存在的各種情況加以討論,要注意不遺漏?不重復.

三?轉化思想

例3如圖5,在ABCD中,對角線AC和BD相交于點O .△OBC的周長為59,BD = 38,AC = 24,則AD =.若△OBC與△OAB的周長差為15,則AB= ,ABCD的周長為.

解析: 要求AD的長,根據已知條件可轉化為求BC的長.要求AB的長,關鍵是將△OBC與△OAB的周長差轉化為平行四邊形兩鄰邊BC與AB的差 .

在ABCD中,OA = OC = AC,OB = OD = BD,所以有△OBC的周長 = OB + OC + BC = BD + AC + BC = 19 + 12 + BC = 59.所以AD = BC = 28 .

△OBC的周長 - △OAB的周長 = (OB + OC + BC) - (OA + OB + AB) = BC - AB = 15,而BC = 28,所以AB = 13.

所以ABCD的周長 = 2(AB + BC) = 2 × (13 + 28) = 82.

點評:在解題中,對于比較復雜或陌生的問題,常常通過轉化將其變為比較簡單或熟悉的問題來解決.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文”。