怎樣證明正方形

侯明輝

對于正方形的判定,教材中沒有明確的判定定理.本文給出了判定正方形的三種方法,并舉例予以說明,供同學們學習時參考.

方法一先證四邊形是矩形,再證有一組鄰邊相等.

例1如圖1,四邊形ABCD是正方形,分別過點A?C作l1?l2,l1∥l2.作BM⊥l1于點M,DN⊥l1于點N.ND?MB的延長線分別交l2于點P?Q.求證:四邊形PQMN是正方形.

證明:由PN⊥l1和QM⊥l1可知PN∥QM.因為PQ∥NM,∠QMN = 90°,所以四邊形PQMN是矩形.又因為∠BAD = 90°,所以∠1 + ∠3 = 90°.又∠1 + ∠2 = 90°,所以∠2 = ∠3.而AB = DA,所以有Rt△ABM ≌ Rt△DAN(AAS), 得AM = DN.同理,AN = DP.故AM + AN = DN + DP,即MN = PN.所以四邊形PQMN是正方形.

點評:解決此題的關鍵是先證明四邊形是矩形,再證它的一組鄰邊相等.這是判定正方形常用的方法之一.此外,△ABM≌△DAN的證法也值得重視.

方法二先證四邊形是菱形,再證它的一個內角是直角.

例2如圖2,正方形CEFG的邊CG在正方形ABCD的邊CD上.點K是BC邊上一點,點H在CD的延長線上,滿足BK = CG = DH.連接AK?KF?FH?HA.求證:四邊形AKFH是正方形.

證明: 由已知條件易得AB = KE = HG = AD,BK = EF = GF = DH,∠B = ∠E = ∠FGH = ∠HDA = 90°,所以由HL得△ABK ≌△KEF ≌△HGF ≌△ADH,得AK = KF = FH = HA.因此,四邊形AKFH是菱形.因為∠2 = ∠3,∠1 + ∠3 = 90°,所以∠1 + ∠2 = ∠AHF = 90°.故四邊形AKFH是正方形.

方法三先證四邊形是平行四邊形,再證它的一個內角是直角,并且有一組鄰邊相等.

例3如圖3,在正方形ABCD中,點E?F?G?H分別在邊AB?BC?CD?DA上,滿足AE = BF = CG = DH.AF分別交DE?BG于點M?N,CH分別交BG?DE于點P?Q.求證:四邊形MNPQ是正方形.

證明:因為DH = BF,且易知ADBC,所以AHFC,從而四邊形AFCH是平行四邊形,所以AF∥CH.同理,DE∥BG.所以四邊形MNPQ是平行四邊形.易證△ADE≌△DCH(SAS),所以∠ADE = ∠DCH,則

∠DCH + ∠EDC = ∠ADE + ∠EDC = 90°.故∠DQC = 90°.因此可知∠EQP = 90°.易證△AMD≌△DQC,△DHQ≌△CGP,故DM = CQ,DQ = CP,則DM - DQ = CQ - CP,即QM = PQ.故四邊形MNPQ是正方形.

點評:解決此題的關鍵是先證明四邊形是平行四邊形,再證它的一個內角是直角(或一組鄰角相等),從而得知這個四邊形是矩形,最后證它的一組鄰邊相等,于是證得這個四邊形是正方形.由此可見,方法三是方法一和方法二的組合.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文”。