中點出招，招招喜人

徐建軍

近年來,常出現以中點為背景的中考試題.現以2008年中考題為例,介紹借助中點構造基本圖形的一些方法,希望對同學們有幫助.

一?中點“安家”

例1 (2008年·上海市)如圖1,在△ABC中,點D在邊AC上,DB=BC,點E是CD的中點,點F是AB的中點.求證:EF=AB.

證明:連接BE.因為DB=BC,點E是CD的中點,所以BE⊥CD.又因為點F是Rt△ABE斜邊上的中點,所以EF=AB.

點評:此題出現了兩次中點的“安家” .(1)中點E“安家落戶”于等腰△BCD中,以便使用“三線合一”性質.(2)中點F“安家落戶”于Rt△ABE中,利于使用“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”.

二?中點“尋親”

例2(2008年·德州市)如圖2,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠A=90°,AB=2, BC=3,CD=1,E是AD中點.求證:CE⊥BE.

證明:取BC的中點F,連接EF. 因為E是AD的中點,F是BC的中點,AB=2,CD=1,所以EF=(DC+AB)= ×

(1 + 2)=.由于BC=3,所以EF=BF=CF.所以∠FCE=∠FEC,∠FEB=∠FBE. 因為∠FCE+∠FEC+∠FEB+∠FBE=180°,所以2∠FEC+2∠FEB=180°,即∠FEC+∠FEB=90°,所以CE⊥BE.

點評:條件中含有中點E,暫時又“無家可歸”,可“尋找親人”,讓兩中點E?F“手拉手”,構造中位線,然后運用中位線定理解決問題.

三?中點“嫁人”

例3(2008年·樂山市)如圖3,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,點E是邊CD的中點,若AB = AD+BC, BE = ,則梯形ABCD的面積為

().

A. B.

C. D. 25

解:延長BE?AD交于點F,連接AE. 因為AD∥BC,所以∠F=∠EBC,∠FDE=∠C.又DE=CE,所以△DEF ≌△CEB,從而BE=FE,DF=CB,S△DEF=S△CEB,所以S梯形ABCD =S△ABF. 因為AB=AD+BC,所以AB=AD+DF=AF.因為四邊形ABCD是直角梯形,所以∠BAF=90°. 因為AB =AF,∠BAF=90°,BE=FE,所以AE⊥BF,AE=BE=EF. 因為BE=,所以AE= ,BF=5,所以S 梯形ABCD =S△ABF=·BF·AE=.故應選A.

點評:條件中含有中點和平行線,可借助于平行線,通過全等將中點“另嫁他人”,成為另一線段的中點,然后再考慮為它“安家”或“尋親”.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文”。