識別菱形三策略

房延華

菱形是一種特殊的平行四邊形,也是一種近乎“完美”的四邊形,因為它具有很多特殊的性質.如何識別菱形呢?我們可以從以下幾個方面考慮.

一?從菱形的定義考慮

例1(2007年·婁底)如圖1,已知點D在△ABC的BC邊上,DE∥AC交AB于點E,DF∥AB交AC于點F.

(1)試說明:AE = DF.

(2)若AD平分∠BAC,試判斷四邊形AEDF的形狀,并說明理由.

分析: 由平行四邊形的性質容易得出AE = DF.由DE∥AC,DF∥AB,可知四邊形AEDF為平行四邊形,再利用AD平分∠BAC可得出AF = DF,故由定義可判定四邊形AEDF為菱形.

解:(1)∵DE∥AC,DF∥AB,

∴四邊形AEDF為平行四邊形.

∴AE = DF.

(2)若AD平分∠BAC,則四邊形AEDF是菱形.理由如下.

由(1)知四邊形AEDF是平行四邊形.

∴∠BAD =∠ADF.

∵ AD平分∠BAC,∠BAD =∠DAF,

∴∠DAF =∠ADF.

∴AF = DF.

∴AEDF為菱形.

例2(2007年·青島)將平行四邊形紙片ABCD按如圖2的方式折疊,使點C與點A重合,點D落到點D′ 處,折痕為EF.

(1)求證:△ABE ≌△AD′F.

(2)連接CF,判斷四邊形AECF是什么特殊四邊形.證明你的結論.

分析: 由邊角關系易證△ABE ≌△AD′F.猜想四邊形AECF是菱形.由軸對稱性質知AE = EC,從而只需再判定四邊形AECF是平行四邊形即可.

解:(1)由折疊的性質可知∠D = ∠D′,CD = AD′,∠BCD = ∠D′AE.

∵四邊形ABCD是平行四邊形,

∴∠B = ∠D,AB = CD,∠BCD = ∠BAD.

∴∠B = ∠D′.AB = AD′.∠D′AE = ∠BAD,即∠1 + ∠2 = ∠2 + ∠3.

∴∠1 = ∠3.

∴△ABE ≌△AD′F(ASA).

(2) 猜想四邊形AECF是菱形,證明如下.

由折疊的性質可知AE = EC,∠4 = ∠5.

∵四邊形ABCD是平行四邊形,

∴AD∥BC.∠5 = ∠6.

∴∠4 = ∠6. AF = AE.

∵AE = EC,

∴AF = EC.

又AF∥EC,

∴四邊形AECF是平行四邊形.

∴四邊形AECF是菱形.

點評:利用定義判定菱形時,一般先證明四邊形是平行四邊形,再利用條件找出一組鄰邊相等.如果已知一組鄰邊相等,則只需讓四邊形為平行四邊形即可.總之,兩個條件缺一不可.

二?從四條邊的數量關系考慮

通過判定四邊形的四條邊相等,來說明四邊形為菱形.

例3(2007年·巴中)在Rt△ABC中,∠C = 90°,∠A = 60°.點E?F分別在AB?AC上.把∠A沿著EF對折,使點A落在BC上的點D處,且使ED⊥BC,如圖3.試說明四邊形AEDF是菱形.

分析: 由折疊的性質和等邊三角形可得出很多相等的邊,所以可利用四邊相等來證明四邊形AEDF是菱形.由軸對稱性質知AF = DF,AE = DE.從而只需再判定AE = AF即可.

解:由折疊的性質可知AF = DF,AE = DE,∠AEF = ∠DEF.

∵∠C = 90°,∠A = 60°,

∴∠B = 30°.

又 ED⊥BC,

∴∠BED = 60°.

∴∠AEF = ∠DEF = (180° - ∠BED) = 60°.

∴△AEF為等邊三角形.AE = AF.

∴AF = DF = AE = DE.四邊形AEDF為菱形.

點評:利用四邊相等證明菱形,一般是利用軸對稱或三角形全等等知識.另外值得注意的是兩個全等的等邊三角形可以“拼成”菱形.

三?從對角線的角度考慮

通過判定四邊形的對角線互相垂直平分,來判定四邊形為菱形.

例4(2006年·張家界)如圖4,已知ABCD的對角線AC?BD相交于點O.BD繞點O順時針方向旋轉,交AB?DC于點E?F.

(1)試說明:四邊形BFDE是平行四邊形.

(2)BD繞點O順時針方向旋轉多大角度時,四邊形BFDE為菱形?請說明理由.

分析: 根據題目的特點,本題應把握與對角線有關的兩個判定:(1)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形; (2)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.

解:(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形,

∴OB = OD.AB∥CD.∠OBE = ∠ODF.

又∠BOE = ∠DOF,

∴△BOE ≌△DOF(AAS).OE = OF.又OB = OD,

∴四邊形BFDE是平行四邊形.

(2)BD繞點O順時針方向旋轉90°時,四邊形BFDE是菱形.

理由:因為∠DOF = 90°,所以EF⊥BD.又因為四邊形BFDE是平行四邊形,所以四邊形BFDE為菱形.

點評:通過對角線互相垂直平分判定菱形,其實質是先利用對角線互相平分判定平行四邊形,再利用對角線垂直判定菱形.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文”。