識別菱形三策略

房延華

菱形是一種特殊的平行四邊形,也是一種近乎“完美”的四邊形,因為它具有很多特殊的性質.如何識別菱形呢?我們可以從以下幾個方面考慮.

一?從菱形的定義考慮

例1(2007年·婁底)如圖1,已知點D在△ABC的BC邊上,DE∥AC交AB于點E,DF∥AB交AC于點F.

(1)試說明:AE = DF.

(2)若AD平分∠BAC,試判斷四邊形AEDF的形狀,并說明理由.

分析: 由平行四邊形的性質容易得出AE = DF.由DE∥AC,DF∥AB,可知四邊形AEDF為平行四邊形,再利用AD平分∠BAC可得出AF = DF,故由定義可判定四邊形AEDF為菱形.

解:(1)∵DE∥AC,DF∥AB,

∴四邊形AEDF為平行四邊形.

∴AE = DF.

(2)若AD平分∠BAC,則四邊形AEDF是菱形.理由如下.

由(1)知四邊形AEDF是平行四邊形.

∴∠BAD =∠ADF.

∵ AD平分∠BAC,∠BAD =∠DAF,

∴∠DAF =∠ADF.

∴AF = DF.

∴AEDF為菱形.

例2(2007年·青島)將平行四邊形紙片ABCD按如圖2的方式折疊,使點C與點A重合,點D落到點D′ 處,折痕為EF.

(1)求證:△ABE ≌△AD′F.

(2)連接CF,判斷四邊形AECF是什么特殊四邊形.證明你的結論.

分析: 由邊角關系易證△ABE ≌△AD′F.猜想四邊形AECF是菱形.由軸對稱性質知AE = EC,從而只需再判定四邊形AECF是平行四邊形即可.

解:(1)由折疊的性質可知∠D = ∠D′,CD = AD′,∠BCD = ∠D′AE.

∵四邊形ABCD是平行四邊形,

∴∠B = ∠D,AB = CD,∠BCD = ∠BAD.

∴∠B = ∠D′.AB = AD′.∠D′AE = ∠BAD,即∠1 + ∠2 = ∠2 + ∠3.

∴∠1 = ∠3.

∴△ABE ≌△AD′F(ASA).

(2) 猜想四邊形AECF是菱形,證明如下.

由折疊的性質可知AE = EC,∠4 = ∠5.

∵四邊形ABCD是平行四邊形,

∴AD∥BC.∠5 = ∠6.

∴∠4 = ∠6. AF = AE.

∵AE = EC,

∴AF = EC.

又AF∥EC,

∴四邊形AECF是平行四邊形.

∴四邊形AECF是菱形.

點評:利用定義判定菱形時,一般先證明四邊形是平行四邊形,再利用條件找出一組鄰邊相等.如果已知一組鄰邊相等,則只需讓四邊形為平行四邊形即可.總之,兩個條件缺一不可.

二?從四條邊的數量關系考慮

通過判定四邊形的四條邊相等,來說明四邊形為菱形.

例3(2007年·巴中)在Rt△ABC中,∠C = 90°,∠A = 60°.點E?F分別在AB?AC上.把∠A沿著EF對折,使點A落在BC上的點D處,且使ED⊥BC,如圖3.試說明四邊形……