一種新的基于振動濾波和各向異性擴散的圖像增強和去噪算法

摘 要：結合振動濾波和各向異性擴散，提出了一種新的圖像增強和去噪方法。該方法將改進的振動濾波項引入增強和去噪方程，使其根據圖像結構信息產生相應變化幅度，使得圖像不僅具有很好的平滑效果，而且增強了邊緣，保留了盡可能多的細節部分，同時很大程度上縮短了計算時間，并給出了方程的離散形式。通過實驗表明，該方法能達到較理想的增強和去噪效果。

關鍵詞：振動濾波；各向異性擴散；圖像增強；圖像去噪

中圖分類號：TP391．41 文獻標志碼：A 文章編號：1001-3695(2008)08-2396-03

New algorithm for image enhancement and denoising

based on shock filters and anisotropic diffusion

CHEN Guan-nan1，2， YANG Kun-tao1， CHEN Rong2， XIE Zhi-ming2

(1.School of Opto-Electronic Science Engineering， Huazhong University of Science Technology， Wuhan 430074， China; 2.Key Laboratory of Opto-Electronic Science Technology for Medicine， Ministry of Education， Fujian Normal University， Fuzhou 350007， China)

Abstract:This paper presented a new scheme by the coupling between shock filters and anisotropic diffusion. It proposed a new improved shock filters term， which produced adaptive magnitude from image structural information， for the image enhancement and denoising. The method could not only well restrain noise but also enhance edge and keep much more details of an image， and the computed time of this algorithm was greatly shortened. It gave the form of discretization directly.Experimental results show that the effectiveness for image enhancement and denoising with the method is better.

Key words：shock filters; anisotropic diffusion; image enhancement; image denoising

圖像是人們獲取信息的一種主要手段，但圖像在生成和傳輸過程中受各種不利因素的影響，均可引起質量退化，同時噪聲對圖像質量也將產生嚴重影響，所以必須通過圖像增強突出圖像中的細節部分及通過圖像去噪消除噪聲。近年來，基于尺度空間和偏微分方程(PDE)的圖像處理方法在圖像去噪領域得到了廣泛的重視^[1，2]，因為它在平滑噪聲的同時可以使邊緣得到保持，并可通過與振動濾波^[3]相結合達到在去噪的過程中完成圖像增強。

在現有的方法^[4~6]中，圖像增強和去噪模型通過振動濾波與非線性擴散模型相結合，但兩個模型相對孤立，且主要是通過使用不同的擴散模型，以及對兩種模型根據圖像信息分配不同的權重達到增強和去噪效果，以至產生處理時間較長，且振動濾波效果不明顯等問題。本文通過使用圖像信息改進振動濾波模型部分，并使兩種模型更緊密結合，希望達到更理想的效果。

1 振動濾波以及結合非線性擴散模型增強與去噪

振動濾波的方程為

It=-|Ix|F(Ixx)（1）

其中:F滿足F(0)=0，F(s)sign(s)≥0。同時，上述方程和本文所有演化方程均滿足初始化條件I(x， 0) = I0(x)和諾埃曼邊界條件。取F(s)=sign(s)，得到經典的振動濾波方程為

It=-sign(Ixx)|Ix|（2）

在2D情況下，振動方程通常使用：

It=-sign(Iηη）|I|（3）

其中:η是梯度方向。

在1D情況下，式（2）的離散形式為

In+1i=Ini-Δt|DIni|sign(D2Ini)（4）

其中:DIni=m(Δ+Ini，Δ-Ini)/h，D2Ini=m(Δ+Δ-Ini)/h2，m(x，y)=(sign x)min(|x|，|y|) if xy＞0

0otherwise，Δ±=±(ui±1-ui)。同時1D情況下約束條件Δt≤ 0.5 h。振動濾波的主要性質為：a）在拐點(二階導數的過零點位置)發生振動；b)局部極值點保持不變，沒有錯誤的極值點產生，該方案稱為全變分保護(TVP); c)穩定狀態的解是分段常數; d)該進程近似去卷積。經典的振動濾波不能去除噪聲，甚至對連續圖像域中的噪聲有放大的效果。解決這個問題的一般方法是用低通濾波器，如高斯函數，與信號的二階導數作卷積。

It=-sign(GσIxx)|Ix|（5）

其中：Gσ是高斯函數。

這種方法不能完全克服噪聲問題，如果高斯函數的標準差σ選擇太小，則不能夠完全消除由噪聲產生的拐點；如果σ選擇太大則有可能使正常的圖像信息被同時消除，最終導致卷積的結果產生不該有的代價。

針對以上存在的事實，通常將其歸納成增強和降噪的問題，在光滑的區域進行降噪處理，在邊緣區域進行增強處理。現有的方法中主要通過在振動濾波中增加各向異性擴散項并分配振動濾波項和各向異性擴散項的權重來解決增強與降噪的問題。文獻[4]首先將振動與擴散相結合，得到下面方程

It=-sign(Gσ*Iηη)|ΔI|+cIεε（6）

其中:c是一個正常數；ε是垂直于梯度I的方向，方程第二項是一個只沿著ε方向的擴散去噪部分。

文獻[5]提出如下方程：

It=-αe(1-hτ)sign(Gσ*Iηη)|I|+αr(hτIηη+Iεε)（7）

其中:如果|Gσ*I | < τ，則hτ = hτ (|Gσ*I|)=1；否則hτ＝0。方程第二項是一個沿著ε方向和η方向均相關的擴散去噪部分，類似于各向異性擴散。

文獻[6]提出如下方程：

It=-(1-c)αsign(Gσ*Iηη)|I|+div(cI)（8）

其中:c=exp(-|Gσ*I|2/k )；k為梯度門限。方程第二項為P-M方程^[7]。而該方程是基于統計意義框架的。

2 新的振動濾波和非線性擴散結合模型

在前面提到的混合增強和去噪模型^[4~6]中，均保持振動項不變，而只針對擴散項進行修改，以改善圖像增強和去噪的效果，但均需使用高斯函數與信號的二階導數作卷積，以至計算時間增長，同時振動項僅使用符號函數與圖像信息關系結合不夠緊密，使得振動效果不明顯。在本文中對振動項進行修改，使用反正切函數代替原方程，即取振動方程F(s)＝arctan（－αs）。其中，參數α用于控制在零點附近斜率的銳度。修改后的方程變為

It=arctan(-α Ixx)|Ix|+λIxx（9）

其中：λ是關于梯度的單調下降的正值函數。下面給出方程的解釋：

a）方程中不再使用線性平滑高斯核Gσ對振動項進行去噪，避免了每步迭代進行圖像的卷積運算，使得處理速度大大加快。

b） 第一項是邊緣提高項，第二項是異性擴散項。當Ixx較小時，第一項占主導地位，即在二階導數的過零點位置以增強為主；當Ixx較大時第二項占主導地位，即以去噪為主。

c） 在Ixx從0開始不斷增大的過程中，arctan（-α Ixx）表現出不同的取值效果。從反正切函數的曲線圖中可以看出，在Ixx接近0的區域，即在二階導數的過零點位置，arctan（-α Ixx）的變化幅度相對較快，圖像增強的效果較為明顯，且Ixx越接近0，變化幅度越快；當Ixx比較大時，即在光滑區域，arctan（-α Ixx）的變化幅度相對較慢。從而使得在邊緣區域銳化速度比在光滑區域速度快。而在前面提到的幾種混合模型中均是通過加入相應的控制參數來完成這一過程，無法針對不同情況加快邊緣區域銳化速度，而本文方法中則通過使用反正切函數，讓函數在越接近邊緣區域處取得越大的振動幅度，效果較為顯著。

通過使用改進的方程加快了處理速度，對于圖像中拐點附近的將具有更理想的增強幅度。在邊緣區域，即在二階導數的過零點位置具有較大的變化幅度；而非邊緣區域，變化幅度小，甚至沒有。使得邊緣區域銳化的速度相對于平滑的區域更快，達到圖像增強的效果。

將方程推廣到二維的形式：

本文提出的方程還能很好地與現有的線性或非線性濾波方法相結合，如與均值濾波、中值濾波、混合擴散濾波^[7]相結合以達到更好的效果。下面給出本文方程與中值濾波相結合后方程的二維形式。

It=arctan[-α median(Iηη)]|I|+λIηη+Iεε（12）

其中：median（Iηη）表示對Iηη進行中值濾波。

以上結合方程能夠針對不同應用中不同的圖像噪聲類型進行去噪。

3 實驗結果及分析

為了驗證本文提供的方法在圖像增強和去噪中的效果，本文選用加入不同方差高斯白噪聲與椒鹽噪聲的合成圖像和腦部MR圖像進行增強和去噪，分別使用原始振動模型，L. Alvarez方法模型和本文方法對噪聲圖像進行處理，并對結果進行比較。

圖1給出幾種方法在迭代次數為100次時，對方差為15的高斯白噪聲與適量椒鹽噪聲的合成圖像增強和去噪結果。從圖中可明顯看出，振動濾波方程對圖像增強的同時對噪聲信號產生了放大，L. Alvarez方法增強和去噪有一定效果，但是在噪聲較大時，不能很好地保持原有圖像的結構，而本文中的方法與前面兩種方法相比得到較好的效果，比較完整地保持原有圖像的結構，僅在尖角處丟失部分信息。

圖2給出幾種方法在醫學圖像中的增強和去噪結果。其中圖像噪聲選用方差為15的高斯白噪聲，迭代次數均為15次。從圖中能比較明顯地看出，本文方法的處理效果明顯好于前兩種方法，不但增強圖像去除噪聲，也保持了更多圖像細節。

本文同時使用峰值信噪比(PSNR) 作為增強和去噪效果測度指標。PSNR反映的是圖像信噪比變化情況的統計平均，它是目前廣泛應用的衡量圖像主觀質量的方法，PSNR越大，圖像質量越好；反之，圖像質量越差。從表1和2可以看出，采用本算法得到的效果優于其他方法。同時本文還給出了合成圖像中各種算法的計算時間。從表1可看出本文方法所用時間小于L. Alvarez方法，主要是因為不再使用線性平滑高斯核Gσ在每個迭代過程中對振動項進行去噪。

表1 合成圖像增強和去噪效果測度指標對比高斯

白噪聲方差參數方法原始振動濾波L. Alvarez方法本文方法方差＝15PSNR13.991 217.502 729.301 6time2.526 535.555 03.330 2方差＝25PSNR12.935 015.572 728.424 3time2.598 235.542 43.369 6表2 腦部MR圖像增強和去噪效果測度指標對比高斯

白噪聲方差參數方法原始振動濾波L. Alvarez方法本文方法方差＝15PSNR21.496 722.700 227.831 9方差＝25PSNR18.015 820.846 926.170 54 結束語

本文從現有的振動濾波與非線性擴散相結合模型出發，分析了它們實現圖像增強和去噪的原理，討論了它們存在的問題。在此基礎上針對振動濾波模型項進行修改，提出新的振動濾波和非線性擴散緊密結合的模型，并給出相應的數值解法，以及提供了與其他經典模型相結合的模型。

新的振動濾波與非線性擴散結合模型不僅具有很好的平滑效果，而且增強了邊緣，保留了盡可能多的細節部分，較大程度上降低了計算時間，很好地完成了圖像增強以及去噪的工作，有利于圖像后續處理。通過對比實驗看出，本文方法在圖像增強和去噪的主觀和客觀效果優于傳統方法，處理時間上也比傳統方法有很大程度的縮短，從而達到了較理想的效果。

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