一種新的線性調頻信號的瞬時頻率估計方法

摘 要：基于HHT（Hilbert-Huang transformation）是一種能分解出信號的任何頻率分量的主成分分析法以及線性調頻信號（LFM）的瞬時頻率是關于時間的直線，將LFM 信號先作HHT得到其瞬時頻率，然后利用該瞬時頻率中間部分的時頻點作最小二乘（LSM）直線擬合。這種改進的LSM直線擬合方法不僅剔除了HHT固有的邊界效應在瞬時頻率斜線兩端產生的高頻諧波，從而有效地抑制了這種邊界效應對瞬時頻率估計的影響，而且直接得到了較為準確的LFM 信號的瞬時頻率參數估計值。與通過改變HHT算法來減小HHT邊界效應的方法相比，該方法更有效、更簡單易行。仿真結果表明，該方法較小波脊頻率提取法更具優越性。

關鍵詞：希爾伯特—黃變換； 線性調頻信號； 瞬時參數估計； 最小二乘法

中圖分類號：TP393 文獻標志碼：A 文章編號：1001-3695(2008)08-2532-02

New method for instantaneous frequency estimations of LFM signals

CUIHua

(School of Science， Xidian University， Xi’an 710071， China)

Asignalsbstract:According to the fact that Hilbert-Huang transformation (HHT) is a main component analysis method and that linear frequency modulation (LFM) signals instantaneous frequencies are lines with respect to variation time.This paper combinedthe HHT and least squares methodto implement their instantaneous frequency estimations. Moreover onlyused the middle of instantaneous time-frequency samples obtained by HHT to fit instantaneous frequency line， which not only could reduce the influence of the end effects inherent in HHT on instantaneous frequency estimation more simply and efficiently than that changing the HHT algorithm did， but also the much more precision instantaneous parameter estimations could be directly achieved. Simulation results show that the proposed method has many advantages over the wavelet ridge method in term of instantaneous frequency estimation of LFM signals.

Key words:HHT; LFM signals; instantaneous parameter estimation; least squares method

線性調頻信號(LFM)是自然界中普遍存在的一大類典型的非平穩信號，在雷達、聲納、廣播、電視、通信、地質勘探等科學及工程領域也有著廣泛應用。線性調頻信號的參數估計一直受到廣泛關注，是一項重要的研究課題，對信號瞬時頻率進行準確的估計具有非常重要的實際意義和理論價值。估計線性調頻信號的瞬時頻率有很多方法^[1，2]，但都有一定的局限性。基于小波變換理論的小波脊頻率估計方法得到了深入的研究，但利用小波脊方法進行瞬時頻率估計時，小波基函數必須滿足一定的時域分辨條件和帶寬條件^[3，4]，極大地限制了該方法的廣泛應用。

Hilbert-Huang變換(HHT)理論是美國工程院院士N. E. Huang于1998年提出的。在分解信號時，HHT無須先驗基底，而是自適應于信號局部特征，從復雜的時間序列中直接分離出從高頻到低頻的若干階信號固有的所有基本時間序列。所以，HHT是小波分析所無法媲美的更加靈活多變的一種新的高效的主成分分析法^[3]，從而可以對信號作更為精確的時頻域分析。基于此以及線性調頻信號的瞬時頻率是關于時間的直線，本文提出了一種新的估計LFM 信號瞬時頻率的方法。仿真結果表明，本文所述的方法較小波脊頻率提取法更有效、更簡單易行、更具優越性。

1 Hilbert-Huang變換

Huang方法^[3]，亦即經驗模態分解(empirical mode decomposition，EMD)是HHT理論的關鍵組成部分，它把一個信號分解為有限個內蘊模態函數(intrinsic mode functions，IMF)之和。已知信號X(t)，其EMD過程可描述如下：

首先，用三次樣條函數曲線循序連接X(t)的所有極大值點，得到信號X(t)的上包絡線Xmax(t)，再采用同樣的方法得到X(t)的下包絡線Xmax(t)，并可得到一條均值線:

m1(t)=(Xmax(t)+Xmin(t))/2(1)

再用X(t)減去m1(t)得到h1(t)：

h1(t)=X(t)-m1(t)(2)

將h1(t)重復上述步驟k次，得到符合條件^[3]的h1k(t)：

h1k(t)=h1(k-1)(t)-m1k(t)(3)

h1k(t)即為第一階IMF，記為

c1(t)=h1k(t) (4)

從X(t)中減去c1(t)得到頻率較低的剩余信號，即殘差為

r1(t)=X(t)-c1(t)(5)

然后，再將r1(t)看做一新信號，重復上述EMD分解過程，最終即可得到全部殘差

ri(t)=ri-1（t）-ci(t);i=2，3，…，n（6）

于是，原始信號X(t)可表示成n階IMF和一個剩余分量rn(t)之和，即

X(t)=ni=1ci(t)+rn(t)(7)

其中：剩余分量rn(t)為一個平均趨勢或一個常量。

信號經過EMD分解后得到多個IMF分量，對每個IMF分量進行Hilbert變換^[3，4]可得到各自的瞬時頻率；綜合所有IMF分量的瞬時頻譜，即對式(7) Hilbert變換有

H（t）=nj=1aj(t)ei∫ωj(t)dt(8)

取其實部就得到了信號的Hilbert譜。式(8)中，aj(t)是第j階IMF分量cj(t)的解析信號幅值，且省去了殘差rn(t)。

EMD分解和Hilbert譜分析綜合起來稱為Hilbert-Huang變換(HHT)。HHT方法一經提出就受到廣大研究人員的青睞，是一種更具有自適應性、更適合處理非平穩非線性信號的時頻局部化分析方法，現已應用到地球物理、生物醫學、振動工程等多種領域。

2 基于HHT的LFM信號的瞬時參數提取方法

線性調頻信號的模型為

x(t)=A exp[j2π(f0t+(1/2)at2)](9)

瞬時頻率定義為

f(t)=′(t)(10)

(t)=2π(f0t+( 1/ 2 )at2)(11)

其中:A為信號x(t)的幅度；(t)為信號x(t)的瞬時相位；f0和a分別為信號x(t)起始頻率和調頻斜率。本文感興趣的是信號x(t)瞬時頻率的確定，即參數f0和a的估計。

由第1章所述的HHT理論可知，與小波變換不同，小波分析本質上還沒有擺脫傳統Fourier分析的局限，是一種窗口可調的Fourier分析，其分解過程不僅與分解尺度和信號采樣頻率有關，更多是與小波基的性質等諸多因素息息相關，由此產生能量泄漏和頻譜擴散等問題，使得小波分析在獵取信號的瞬時特性方面受到一定的制約。HHT的分解過程無須預設基底，并且只要滿足香農采樣定理，分解就完全由信號本身決定，是依據信號本身的時間尺度特征（信號相鄰峰值點之間的時間間隔）進行分解并保留信號本身的特性。該時間尺度可以是任意值，不像小波分解中的時間尺度均為2的倍數。所以，HHT具有小波分析所無法媲美的非常好的自適應與信號局部特征的能力，能夠更為準確地捕捉信號的局部瞬時特性，反映信號的瞬時特征，實現更為準確的信號分解，為更準確地提取信號的瞬時參數提供保障。

從第1章所述的HHT理論可以看出，包絡的構造影響著整個EMD分解過程，也決定了后面Hilbert變換的準確度。Huang采用三次樣條插值法來擬合包絡，但由于信號邊緣缺少數據量，信號的兩個端點不能確定是否為極值，不可避免地使信號的上下包絡在兩端出現大的擺動，即所謂的嚴重的邊界效應。于是污染了原始數據，嚴重影響信號的分解質量，特別地，過多的分解使得邊界誤差不斷累加，邊界效應更加嚴重，甚至會使HHT分析所得的結果失去原有的物理意義。而EMD分解是進行Hilbert變換的基礎，因而計算出的瞬時頻率不可避免地受其影響，在兩端附近會發生扭曲和波動，造成大的誤差。在應用HHT理論時，設法減少這種邊界效應^[5，6]是至關重要的。本文不同于以往做法，不從改變HHT算法本身去遏制邊界效應，因為從文獻[5，6]反映這種看似根本的做法其效果卻并不理想。而是采用改進的最小二乘直線擬合方法來抑制HHT固有的邊界效應對LFM信號瞬時頻率估計的影響。

由于HHT理論決定了先分解出來的IMF就是該LFM信號的主頻率成分，并且HHT固有的邊界效應對高頻分量而言，發生在兩端較小的區域，筆者對第一個IMF進行Hilbert變換得到其瞬時頻率。基于LFM信號的瞬時頻率是關于時間的直線這一重要特點，本文采用改進的最小二乘直線擬合法^[7]來擬合新的瞬時頻率直線，就直接得到了該LFM信號的起始頻率和調頻斜率的估計值。所謂改進的最小二乘直線擬合法，是指筆者只利用HHT之后得到的瞬時頻率的中間一部分時頻點，而不是其全部頻率點來擬合新的瞬時頻率直線。這樣做的目的是為了剔除邊界效應在瞬時頻率兩端產生的諧波，從而抑制邊界效應對瞬時頻率估計的影響，最大程度地保留信號本身的瞬時頻率特性。較以往通過改造EMD分解算法來抑制HHT邊界效應的方法，本文提出的方法更加簡單易行，不僅有效地降低了HHT的邊界效應對估計LFM信號的瞬時頻率的影響，而且直接得到了該LFM信號的更加準確的瞬時參數估計值。

3 仿真結果及其分析

仿真信號為A=2，f0=20 Hz，a=50 Hz/s，采樣頻率為1 kHz，采樣點數為1 000個。對該LFM信號進行HHT，其EMD分解結果及其瞬時頻率分別如圖1和2所示。從圖2可以看到HHT中固有的邊界效應對瞬時頻率提取所產生的影響：在兩端較小的區域存在一些高頻諧波。用本文所述方法估計出的瞬時頻率斜線如圖3(a)所示，起始頻率和調頻斜率分別為20.469 3 Hz和48.675 8 Hz/s。圖3(b)是利用文獻[8]中所研究的小波脊方法提取出的仿真信號的瞬時頻率斜線，其起始頻率和調頻斜率分別為23.119 1 Hz和44.981 3 Hz/s。與真值對照，這兩種方法都較為準確地提取出了信號的瞬時參數，都是提取LFM信號的瞬時頻率的有效途徑。這兩種方法比較起來，使用本文所提出的方法提取出的瞬時參數更為準確。

4 結束語

HHT方法是完全突破了傳統的Fourier分析和小波分析的一種全新的信號處理方法，不限于窗函數或小波基理論的分析思想，完全是依賴信號本身特征的更準確的自適應信號分解方法，具有更廣闊的應用天地。只要能有效地抑制HHT固有的邊界效應，就可以對信號實現更為準確的瞬時頻率估計。本文基于HHT所提出的LFM信號的瞬時頻率提取方法，不僅對HHT分析方法是一個推廣，并且結合LFM信號自身特點利用改進的最小二乘直線擬合方法，有效地抑制了HHT固有的邊界效應對估計信號瞬時頻率帶來的影響，而且直接得到了更為準確的瞬時參數估計值。仿真及其分析都一致表明，與小波脊方法相比，本文提出的LFM信號瞬時頻率估計方法不僅能更為準確地估計出瞬時參數，而且更加簡單易行，是一種高效的好方法。

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