多目標進化算法中基于動態(tài)聚集距離的分布性保持策略

收稿日期：2007-10-31；修回日期：2008-03-04

基金項目：國家自然科學基金資助項目(60773047); 湖南省教育廳重點科研項目(06A074)

作者簡介：羅彪(1984-)，男，湖南邵陽人，碩士研究生， 主要研究方向為進化計算、計算智能; 鄭金華(1963-)， 男，湖南邵陽人，教授， 博導，主要研究方向為進化計算、并行處理等（jhzheng@xtu.edu.cn）.

*

(湘潭大學 信息工程學院，湖南 湘潭 411105)

摘 要：提出了基于動態(tài)聚集距離(DCD)的分布性保持策略，利用個體在不同維目標上聚集距離的差異程度來定義DCD，并在種群維護中動態(tài)地計算DCD。與目前經典算法NSGA-II和ε-MOEA進行比較，實驗結果表明DCD能在較大程度上提高分布性，并得到較好的收斂性。

關鍵詞：多目標進化算法;動態(tài)聚集距離;帕累托最優(yōu)解;分布性;種群維護

中圖分類號：TP18

文獻標志碼：A

文章編號：1001-3695(2008)10-2934-05

Dynamic crowding distance based diversity maintenance strategy in MOEAs

LUO Biao， ZHENG Jin-hua

(College of Information Engineering， Xiangtan University， Xiangtan Hunan 411105， China)

Abstract:This paper proposed a dynamic crowding distance (DCD) based on diversity maintenance strategy， in which the definition of individual’s DCD was based on the degree of difference between the crowding distances on different objectives. The proposed strategy computed individuals’ DCD dynamically during the process of population maintenance. Compared with NSGA-II and ε-MOEA， the experimental results demonstrate that DCD can improve diversity at a high level.

Key words：multi-objective evolutionarg algorithms(MOEAs); dynamic crowding distance; Pareto optimal solutions; diversity; population maintenance

0 引言

多目標優(yōu)化問題(multi-objective optimization problems， MOPs)在許多領域是很常見的，其求解不同于單目標優(yōu)化問題(single objective optimization problems， SOPs)。SOPs的最優(yōu)值只有一個。而對于MOPs來說，由于多個目標之間一般是相互沖突的，即一個目標的改進會影響其他目標的性能。對MOPs的求解，在20世紀50年代就有使用數(shù)學規(guī)劃來求解的研究，直到現(xiàn)在，用數(shù)學規(guī)劃[1，2]方法解決MOPs一些問題還在使用。但是數(shù)學規(guī)劃存在一些不足，如某些方法容易受Pareto最優(yōu)邊界(Pareto front， PF)的影響，當PF為非凸或非連續(xù)的情況，某些數(shù)學規(guī)劃的方法就失效了；還有一些方法要求約束條件與目標函數(shù)可微，甚至一次運行只能找到一個解，使效率降低，等等。學者們一直在尋找更加有效的求解MOPs的方法。1975年，密歇根大學的Holland[3]首次提出了GA的基本概念和理論框架。事實上，早在1967年，Rosenberg[4]第一次考慮將進化算法(evolutionary algorithms， EAs)應用于MOPs，雖然當時沒有具體實現(xiàn)一種多目標進化算法(multi-objective evolutionary algorithms， MOEAs)，但卻促進了關于MOEAs更深入的研究。

MOEAs是一種模擬生物進化、解決多目標優(yōu)化問題的全局搜索算法。從發(fā)展歷程來看，第一個真正意義上的MOEA是20世紀80年代中期由Schaffer[5]提出的向量評估遺傳算法(vector evaluated genetic algorithm， VEGA )。雖然該算法在一些方面有很多不足，但是它對MOEAs的發(fā)展有重大意義。Coello[6，7]將MOEAs的發(fā)展分成兩個階段：a)第一階段為20世紀80年代中期到90年代中期。這期間代表性的MOEAs有VEGA[5]、Fonseca等人[8]提出的MOGA、Srinivas等人[9]提出的NSGA以及Horn等人[10]提出的NPGA等。這一階段的MOEAs均比較簡單。b)第二階段為20世紀90年代中期到現(xiàn)在。這期間具代表性的MOEAs有Zitzler等人[11]提出的SPEA及其改進版SPEA2[12，13]、Knowles等人[14]提出的PAES、Deb等人[15，16]對NSGA的改進版NSGA-II、Corne等人[17]提出的PESA及PESA II[18]等。這一階段由于精英保留機制等有效方法的引入，明顯提高了MOEAs的效率。由于MOEAs的通用性強且不依賴于函數(shù)模型，適用于處理復雜的多目標優(yōu)化問題，被廣泛地應用于函數(shù)優(yōu)化、智能控制、機器人路徑規(guī)劃等眾多方面。無論是在科研領域，還是在工程領域，關于MOEAs的研究引起了廣泛關注。國內最近出版的一些關于MOEAs的專著[19，20]，為MOEAs研究與應用提供了很大的幫助。

在對MOEAs的研究中，算法的收斂性[21]與Pareto最優(yōu)解的分布性[22~24]一直是研究的熱點。分布性保持在實際中有著重要意義，一個好的分布性能夠給決策者提供更多合理的選擇。解的分布性主要體現(xiàn)在兩個方面，即分布廣度和解分布的均勻程度。在MOEAs的設計中，解的分布性保持策略一般放在種群維護(population maintenance)中實現(xiàn)，當非支配個數(shù)超過一定規(guī)模時，就需要利用修剪操作(truncation operator)來去除個體。去除個體不是隨機的，而是根據(jù)一定的分布性保持策略來進行。

1 多目標優(yōu)化問題的有關概念

下面給出與本文相關的幾個概念，由于最大值優(yōu)化與最小值優(yōu)化問題可以相互轉換，這里只考慮最小值優(yōu)化問題。

定義1 多目標優(yōu)化問題 MOP的一般描述如下:

min f(X)=(f1(X)，…， fr(X))(1)

gi(X)≥0 (i=1，2，…，k)(2)

hi(X)=0 (i=1，2，…，l)(3)其中：f(X)為目標函數(shù)向量，有r個目標，這些目標是相互沖突的；f：Ω→Π， ΩRn， ΠRr； Ω為決策向量空間(簡稱決策空間)，也稱為可行解空間；是目標向量空間(簡稱目標空間)。式(2)和(3)分別為不等式約束和等式約束；多目標優(yōu)化的目的就是尋找最優(yōu)解X*=(x*1，x*2，…，x*n)，使f(X*)在滿足約束式(2)和(3)的條件下達到Pareto最優(yōu)。

定義2 解的支配關系 對于定義1的MOP，p， q∈Ω，如果p支配q，必須滿足下面兩個條件：

a)對所有的子目標，p不比q差，即fk(p)≤fk(q) (k=1，2，…，r)；

b)至少存在一個子目標，使p比q好，即l∈{1，2，…，r}，使fl(p)＜fl(q)。

此時稱p支配q，p為非支配解，q為支配解。

MOPs的最優(yōu)解通常稱為Pareto最優(yōu)解。它最早由Edgeworth[25]提出，后來由Pareto[26]總結得到具體概念，故此而命名為Pareto 最優(yōu)解。

定義3 Pareto最優(yōu)解 MOPs的全局非支配解稱為Pareto最優(yōu)解。

由于Pareto最優(yōu)解往往不止一個，而是一個解的集合，這里用PS表示。定義如下：

定義4 Pareto最優(yōu)解集 對于定義1的MOP，它的Pareto最優(yōu)解集定義為PS={X∈Ω|X′∈Ω， fj(X′)≤

fj(X) (j=1，…，r)}(4)

在本文中，種群的Pareto最優(yōu)解集也稱為非支配解集(non-dominated set， NDS)，其構造根據(jù)個體間的支配關系。MOEAs的任務就是在進化過程中構造出當前種群的非支配解集，使當前的非支配集逐漸逼近真實的Pareto最優(yōu)解集。

定義5 Pareto最優(yōu)邊界 對于定義1的MOP，設它的Pareto最優(yōu)解集為PS，則Pareto最優(yōu)邊界定義為PF={f(X)|X∈PS}(5)

注意，Pareto最優(yōu)解集與Pareto最優(yōu)邊界是不同的，前者屬于決策向量空間，而后者屬于目標向量空間。

2 相關工作

分布性保持策略在MOEAs的研究中是一項相當重要的工作，目前關于這方面的研究可以從以下幾個方面來進行討論：a)小生境技術(niche)。例如Cavicchio[27]提出的基于預選擇機制的小生境技術、Goldberg 等人[28]提出的基于排擠機制的小生境技術和基于共享機制的小生境技術。b)信息熵(information entropy)。朱學軍等人[29]及崔遜學等人[30]用進化群體的熵來刻畫進化群體的多樣性與分布性。c)聚集密度(crowding density)。相關研究分別使用了聚集距離[16]、相似度及影響因子來計算個體的聚集密度。d)超網(wǎng)格(hyper-grid)。相關的研究[14，17，31]從超網(wǎng)格的不同方面來保持進化種群分布性。e)聚類分析(clustering analysis)。相關的研究[11]將種群中的個體按相似性劃分為幾個聚類。

3 動態(tài)聚集距離的分布性保持策略

在MOEAs中，當種群中非支配個體數(shù)超過一定規(guī)模時，就需要進行種群維護，而種群維護主要是根據(jù)分布性保持策略進行的。

3. 1 聚集距離

經典多目標進化算法NSGA-II采用的是基于聚集距離的分布性保持策略。個體的聚集距離(crowding distance， CD)是針對種群中一層非支配個體而言。個體i聚集距離的計算式為Ii.cd=1/r∑rk=1|Ii+1.fk-Ii-1.fk|(6)其中：r 為目標的維數(shù)；Ij為對非支配個體進行排序后的第i個個體；Ii.fk為第i個個體Ii在第k維目標上排序后的第k(k=1，…，r)維目標值。注意，式(6)只用于對非邊界個體的聚集距離進行賦值。為了保持解的分布廣度，邊界點通常被無條件地保留。這樣，邊界個體的聚集距離在實際操作中賦值為一個很大的數(shù)。

下面以一個二維目標的情況來說明聚集距離的計算過程。如圖1所示，圖中實心黑點為非支配個體，空心點為支配個體，則個體i的聚集距離是圖中實線四方形的長與寬之和的一半，則Ii.cd=1/2[(Ii+1.f1-Ii-1.f1)+

(Ii+1.f2-Ii-1.f2)];i=I， …， λ

若種群大小為N，當前非支配集的大小為M，且M＞N，則需要從當前非支配集中按修剪方法來去除M-N個個體，去除的個體不是隨機的，而是根據(jù)一定的分布性保持策略選擇性地去除個體。基于聚集距離的分布性保持策略就是根據(jù)式(6)計算種群中M個非支配個體的聚集距離，然后對這M個個體按聚集距離從小到大排序，最后將M-N個聚集距離最小的個體從種群中一次性去除，從而達到修剪的目的。很明顯，這種策略過于粗糙，使得解的分布性較差。

32DCD的提出

基于聚集距離的分布性保持策略存在兩個缺陷。如圖2所示，圖中實心黑點A~I為非支配個體。a)由于C、D、E的聚集距離均較小，如果一次性去除所有聚集距離小的個體，則會出現(xiàn)個體B與F之間個體缺失，因而影響解的分布性；b)對于個體B，由于在一維目標上的差值很大，而在另一維目標上的差值卻很小，使得B的聚集距離也較小，個體F由于在各維目標上的差值均相差不大，使得F的聚集距離也較大，此時，會誤認為F的分布性較B要好，而去除B，事實上，B的分布性較F要好。

可以看出，基于聚集距離的分布性保持策略在一次種群維護中，個體的聚集距離是不變的，即一次種群維護中個體的聚集距離只需計算一次。本文提出了一種基于動態(tài)聚集(dyna-mic crowding distance， DCD)距離的分布性保持策略。之所以稱為是動態(tài)聚集距離，是因為在一次種群維護中，個體的聚集距離是不斷變化的。針對上述聚集距離的兩個缺陷，DCD均提出相應的解決方法。對于缺陷a)，在種群維護過程中，DCD在每去除一個個體又重新計算種群中剩余個體的DCD；對于缺陷b)，個體i的動態(tài)聚集距離根據(jù)式(7)進行計算：Ii.dcd=Ii.cd/log(1/Vi)(7)其中：Ii.cd根據(jù)式(6)進行計算；Vi根據(jù)式(8)進行計算。Vi=1/r∑ri=1(|Ii+1.fk-Ii-1.fk|-Ii.cd)²(8)

可見，Vi為個體i在各維目標相鄰個體聚集距離的方差，它能反映各維目標聚集距離差異程度。例如，對于圖2中個體B與F，個體B的Vi明顯要大于F的Vi。這樣，使用式(7)定義的DCD，種群中類似于個體B，即不同維目標上聚集距離的差異程度較大的個體在種群維護中有更多的機會被保留。

33 基于DCD的分布性保持策略的設計與分析

在種群維護過程中，需根據(jù)分布性保持策略來修剪個體。下面討論基于DCD的分布性保持策略的具體描述。若種群大小為N，當前非支配集Q(t)的大小為M，且M>N，則根據(jù)DCD從Q(t)中去除M-N個個體的基于DCD的分布性保持策略描述如下：

算法1 基于DCD的分布性保持策略

a)根據(jù)式(7)計算Q(t)中每個個體的動態(tài)聚集距離Ii.dcd。

b)對Q(t)中的個體按動態(tài)聚集距離Ii.dcd進行排序。

c)將Q(t)中Ii.dcd最小的個體從Q(t)中去除。

d)若|Q(t)|≤N，則結束種群維護；否則返回a)，繼續(xù)執(zhí)行。

由算法1可以看出，基于DCD的分布性保持策略在進行種群維護時表現(xiàn)出兩個重要特點：a)每次只去除當前非支配集Q(t)中動態(tài)聚集距離Ii.dcd最小的一個個體。去除一個個體后，又重新計算Q(t)中個體的DCD。這樣就避免了一次性去除許多個體而造成某一區(qū)域個體缺失的現(xiàn)象，故而可以得到分布更為均勻的Pareto front。b)由于使用式(7)來計算個體的DCD，式(7)不僅考慮了個體間的擁擠情況，而且還考慮到了個體在不同維目標上聚集距離的差異情況。這樣，就有利于維護在不同維目標上聚集距離差異較大的Pareto front的分布性。

4 實驗與分析

41 測試函數(shù)與實驗環(huán)境設置

經典多目標進化算法——NSGA-II采用的是基于聚集距離的分布性保持策略。本文使用基于DCD的分布性保持策略來代替基于聚集距離的分布性保持策略，記為NSGA-II+DCD。當然，也可以使用其他的MOEAs。參與比較的兩個MOEAs是目標相當經典算法，即NSGA-II(基于聚集距離的分布性保持策略)和ε-MOEA[32]。

本文所用到的測試函數(shù)如表1所示。實驗環(huán)境設置如表2所示。說明：在ε-MOEA中，不存在進化代數(shù)，只存在適應度評價次數(shù)，且適應度評價次數(shù)=進化代數(shù)×種群規(guī)模。因此，設置適應度評價次數(shù)為20 000。在ε-MOEA中，歸檔集的大小是變化的，因此，為了得到上述種群規(guī)模大小的歸檔集，需調節(jié)ε的值。在這里，ε的取值盡量與文獻[32]相同。

表1 測試函數(shù)集測試問題目標函數(shù)特征ZDT1f1(x1)=x1

f2(x)=g(1-(f1/g))

g(x)=1+9∑mi=2xi /(m-1)n=30; 0≤xi≤1

凸ZDT2f1(x1)=x1

f2(x)=g[1-(f1/g)²]

g(x=1+9∑mi=2xi /(m-1)n=30; 0≤xi≤1

凹ZDT3f1(x1)=x1

f2(x)=g[1-f1/g-(f1/g)sin(10π f1)]

g(x)=1+9∑mi=2xi /(m-1)n=30; 0≤x≤1

凸，非連續(xù)SCHf1(x)=x²

f2(x)=(x-2)²-103≤x≤103

凸POLf1(x，y)=-[1+(A1-B1)²+(A2-B2)²]

f2(x，y)=-[(x+3)²+(y+1)²]

A1=0.5 sin1-2cos 1+sin 2-1.5 cosf 2

A2=1.5 sin 1-cos /+2 sin 2-0.5 cos 2

B1=0.5 sin x-2 cos x+ sin y-1.5 cos y

B2=1.5 sin x- cos x+2 sin y-0.5 cos y-π≤x，y≤π

凸，非連續(xù)FON1f1(x，y)=1-exp[-(x-1)²-(y+1)²]

f2(x，y)=1-exp[-(x+1)²-(y-1)²]-4≤x，y≤4

凹FON2f1(x)=1-exp[-∑ni=1(xi-1/n)²]

f2(x)=1-exp[-∑ni=1(xi+1/n)²]n=3;-4≤x≤4

凹

表2 實驗環(huán)境設置種群規(guī)模進化代數(shù)交叉概率變異概率eta_ceta_m1002000.90.110.010.042 實驗與數(shù)據(jù)分析

使用NSGA-II+DCD 、NSGA-II 與ε-MOEA在表2的實驗環(huán)境設置下對表1中的七個測試函數(shù)進行優(yōu)化，得到的Pareto front分別如圖3~9所示。

從圖3~9可以看出，三種算法得到的Pareto front無論在分布廣度，還是在均勻性方面，NSGA-II+DCD都比NSGA-II 與ε-MOEA要好。主要表現(xiàn)為兩點：a)NSGA-II 與ε-MOEA得到的Pareto front在某些區(qū)域個體密集，某些區(qū)域個體稀疏，甚至有一些區(qū)域出現(xiàn)個體缺失；b)NSGA-II 與ε-MOEA在優(yōu)化各維聚集距離差異的MOPs時，如ZDT2、ZDT3、POL與FON1等，容易造成部分區(qū)域個體嚴重缺失。此外，ε-MOEA很難找到邊界點，造成邊界的一段Pareto front丟失，如ZDT1、SCH和POL。總之，實驗說明NSGA-II+DCD得到的Pareto front的分布性明顯優(yōu)于NSGA-II 與ε-MOEA。

43 性能評價

上面已經定性地比較了NSGA-II+DCD 、NSGA-II 與ε-MOEA的分布性能。為了進行定量分析，這里引入兩個性能評價指標。

a)SP：它是Schott[33]提出來的一種評價分布性的指標，是目前使用最多的評價分布參數(shù)。其計算式為：SP=∑ni=1(d-di)²/（n-1）(9) 其中:di=minj{∑rk=1|f ik-f jk}(i，j = 1，2，…，n)；d為d的平均值；f ik為第i個個體的第k維目標值；n為算法得到的Pareto最優(yōu)解集中解的個數(shù)。SP越小，說明分布性越好。

b)IGD: 它是反向世代距離(inverted generational distance， IGD)，主要用于評價收斂性，同時也能反映分布性。其定義為IGD=∑v∈P*d(v，p)/|P*|(10)其中：d(v，P)表示個體v到種群P中個體的最小歐幾里得距離；P*為在真實Pareto front上均勻取的一定數(shù)目的個體集合，在本文中，取|P*|=500；P為使用MOEAs得到的非支配集。IGD越小越好。可以看出，只有當種群的收斂性與分布性都好的時候，IGD才會很小。因此，如果|P*|足夠大，IGD既能反映種群的收斂性，同時也能反映分布性。

正如IGD名字所反映的一樣，IGD是非常熟悉的GD[34]的一種反向思想。由于GD表示種群P到真實Pareto front的平均距離，只能反映P對真實Pareto front的近似程度，而無法反映P的分布性。現(xiàn)在有許多學者[35，36]更提倡使用IGD作為性能評價指標。

在表2的實驗環(huán)境下，對表1中所有測試函數(shù)運行NSGA-II+DCD 、NSGA-II 與ε-MOEA各20次，得到的SP的平均值(mean)及其標準差(σ)列于表3。表中的黑體數(shù)字表示該算法得到的值最小。可以看出，NSGA-II+DCD在所有的測試函數(shù)上的分布性均比NSGA-II 與ε-MOEA要好得多。這說明DCD能在較大程度上改進分布性。

對于表1中的部分測試函數(shù)，在表2的實驗環(huán)境下，運行NSGA-II+DCD 、NSGA-II 與ε-MOEA各20次，統(tǒng)計IGD的平均值(mean)與方差(σ)，得到表4。表中黑體數(shù)字表示該算法得到的值最小。從表中可知，除ZDT1以外，NSGA-II+DCD得到的平均IGD均要小于NSGA-II 與ε-MOEA所得到的平均IGD。這說明DCD在改進算法分布性的同時，也使算法獲得了較好的收斂性。

表3 算法的分布性平均SP及其方差的比較MOEAsNSGA-II + DCDSP (mean)SP(σ)NSGA-IISP (mean)SP(σ)ε-MOEASP (mean)SP(σ)ZDT10.002 9990.000 2860.006 0290.000 5310.005 9040.000 280ZDT20.003 4620.000 4730.006 1590.000 8090.008 6150.000 881ZDT30.004 6650.001 5570.007 1350.000 7760.011 1640.000 516SCH0.010 7150.000 9740.036 4180.002 2400.038 0690.003 464POL0.049 7550.005 9790.106 8040.005 0730.146 0250.006 371FON10.002 8620.000 3300.008 2570.000 5060.022 7530.000 399FON20.002 7190.000 2410.008 1940007 6800.004 8640.000 255表4 算法在部分測試函數(shù)上的平均IGD及其方差σ的比較MOEAsNSGA-II + DCDIGD (mean)IGD(σ)NSGA-II + DCDIGD (mean)IGD(σ)NSGA-II + DCDIGD (mean)IGD(σ)ZDT10.005 4560.000 2040.006 2050.000 3140.004 6350.000 152ZDT20.005 9190.000 3850.006 3600.000 3030.006 1200.000 332SCH0.016 7660.000 0720.022 4130.000 7670.054 1910.000 777FON20.430 3450.000 5200.431 2180.001 2810.432 8500.000 1565 結束語

經過對聚集距離的認真分析，本文提出了一種基于DCD的分布性保持策略。該策略有兩個特點：a)在種群維護的過程中動態(tài)地計算個體的DCD，每去除一個體后重新計算種群中個體的DCD，這樣就可以提高Pareto最優(yōu)解的均勻性，避免造成某些區(qū)域個體密集，另一些區(qū)域個體稀疏；b)個體DCD的獲得考慮了個體在不同維目標上聚集距離的差異程度，這樣就可以有效地防止部分區(qū)域個體嚴重缺失的現(xiàn)象。通過對七個測試函數(shù)的SP以及部分測試函數(shù)IGD的統(tǒng)計，與NSGA-II 和ε-MOEA進行比較，實驗結果表明，DCD能在很大程度上提高分布性，同時還改進了收斂性。

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