一種ＳαＳｇ噪聲在ＦＰ非線性系統中的逆濾波恢復方法

(1.九江大學 電子工程學院， 江西 九江 332005; 2.大連理工大學 電子與信息工程學院， 遼寧 大連 116024)

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摘要：針對分數極點系統中存在的獨立SαSG噪聲，提出一種分數極點系統中穩定分布噪聲的逆濾波方法，并分析了算法的長記憶、最小相位、收斂特性。計算機模擬實驗結果表明，這種算法是一種在SαSG分布噪聲條件下具有良好韌性的逆濾波方法。

關鍵詞：α-穩定分布; 分數低階統計量; 分數極點系統; 逆濾波

中圖分類號：TP391文獻標志碼：A

文章編號：1001-3695(2008)11-3296-03

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Adaptive inverse filtering algorithm ofSαSG noise in fractional poles system

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ZHA Dai-feng1， QIU Tian-shuang1，2

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(1. College of Electronic Engineering， Jiujiang University， Jiujiang Jiangxi 332005， China; 2.School of Electronic Information Engineering， Dalian University of Technology， Dalian Liaoning 116024， China)

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Abstract:This paper proposed a new inverse filtering algorithm based on innovation process with infinite variances in fractio-nal poles system， and analysed its convergences. The simulation experiments show that the proposed new algorithm is robust.

Key words：alpha stable distribution; fractional lower order statistics; fractional poles system; inverse filtering

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0引言

長期以來，囿于理論發展的限制，關于隨機信號理論的研究主要局限于高斯分布情況下的二階統計量。然而，在諸如水聲、雷達、通信、語音信號和生物醫學信號處理等領域的實際應用中，許多隨機信號是非高斯分布。這樣，將其作為高斯分布的情況來分析和處理，常不能得到滿意的結果。α-穩定分布^[1~3]是一種廣義的高斯分布，其概念最先由利維（Levy）于1925年在研究廣義中心極限定理時提出。α-穩定分布的統計特性由其特征函數的四個參數來決定。SαS分布的概率密度函數沒有統一的封閉表達式，但其特征函數存在統一的形式

ΦαS(t)=exp{jμt-γ｜t｜α[1+jβ sgn(t)ω(t，α)]}（1）

其中：ω（t，α）=tan (απ/2)(α≠1)；ω(t，α)=（2/π） log｜t｜(α=1)；α是特征指數(0＜α≤2)，控制著隨機過程的脈沖程度，α愈小脈沖性愈強；β是對稱系數，β=0時表示對稱分布，記為SαS(symmetry α-stable distribution)；γ是分散系數（dispersion）；μ為位置參數。當α=2時，α穩定分布與正態分布完全相同。若隨機信號的特征指數為α，則只有階數小于α階的統計矩是有限的^[1~3]。對于非高斯穩定過程，當1≤α＜2時，穩定過程{X(t)，t∈T}張成的線性空間L(X(t)，t∈T)是Banach空間；當0＜α＜1時，只是度量空間。這些空間對于線性估計問題不像Hilbert空間那樣具有好的特性和結構。

在通信與雷達系統中，特別在多接入（MA）跳頻擴譜（FHSS）無線網絡中，由于通道重復使用，每個終端均干擾著由其他終端發射的信號。多接入干擾（MAI）可用SαS予以建模^[4]；同時在發射與接收機的發熱單元中，常同時存在不可避免的內部熱高斯噪聲，導致系統中存在獨立噪聲與高斯噪聲，即一種服從分布的混合噪聲（圖1）^[4，5]。SαSG分布不存在概率密度函數沒有的封閉表達式，但它的特征函數為

ΦSαSG(t)=exp{-γSαS｜t｜α-γGt2}（2）

其中：γSαS為SαS噪聲的分散系數；γG=σ2G/2為高斯噪聲的分散系數；σ2G為高斯噪聲的方差，SαSG分布記為SαSG(α，γSαS，γG)。

SαSG分布同SαS分布有類似的性質：

a)若X為一個特征指數是α的SαSG分布隨機變量，當α＞1時其均值存在；

b)當α=2時SαSG分布為兩個獨立高斯變量之和；

c)當0＜｜X｜＜∞且0＜p＜α，則E｜X｜p＜∞。

與單純SαS分布下的濾波方法的研究相比，SαSG分布下的濾波方法卻沒有廣泛的研究。

1FP模型

分數極點(FP)模型是一種具有雙曲線衰減的自相關模型，它是一種非有理模型，具有長記憶特性。分數模型已廣泛用于水文、數字網絡流量分析、心率分析與經濟等領域。實際中，具有獨立尖峰的時間脈沖，能很好地用既有無限方差的α穩定分布來建模。對于一個有穩定分布脈沖激勵的分數極點模型，其輸出噪聲的逆濾波問題即原始激勵信號的恢復問題是一個很重要的問題。本文主要探討如何將SαS激勵的分數極點模型輸出進行逆濾波的方法及其收斂特性。

極點—零點模型（ARMA模型）的單位脈沖響應和自相關序列呈指數關系衰減，即它們幾何有界： 

｜h(n)｜≤Chξ-n｜rh(m)｜≤Crξ-m

其中：Ch，Cr＞0，0＜ξ＜1。為了獲得長脈沖響應或者長自相關，至少應該有一個極點靠近單位圓。也就是說，當m→∞時，rh(m)的衰減要慢于ξ-m，即模型具有長記憶效應。分數極點模型是Granger等人^[6]提出的，其傳遞函數定義為

H(z)=1/(1-z-1)d（3）

其中d為非整數參數。由級數展開法將H(z)展開為冪級數為

H(z)=1/(1-z-1)d=1+dz-1+(d(d+1)/2!)z-2+…+[(d(d-1)…(d+n-1))/n!]z-n+…（4）

定義常用的伽瑪函數為Γ(·)=∫∞0 tx-1 e-tdt并利用伽馬函數的以下特性：

Γ(z)Γ(1-z)=π/sin πz

Γ(z+1)=zΓ(z)

πΓ(2z)=22t-1Γ(z+1/2)

Γ(n+1)=n!(n為整數）

可以得到：

h(n)=(d(d-1)…(d+n-1))/n!=(d+n-1)!/n!(d-1)!=Γ(n+d)/Γ(n+1)Γ(d)=((d+n-1)/n)h(n-1)(5)

對于分數極點系統，其復值功率譜為Rh(z)=H(z)H(z-1)，所以

Rh(ejw)=1/[2 sin (w/2)]2d-π＜w＜π（6）

當頻率w→0時，其功率譜為

limw→0 Rh(ejw)=1/w2d

對Rh(ejw)進行傅里葉反變換，得到模型自相關：

rh(m)=（1/2π）∫π0(cos wm)(2sin w/2)-2ddw（7）

利用恒等式^[5]：

∫π0(cos ax)(sin x)v-1dx=[π cos (aπ/2)Γ(v+1)21-v]/{vΓ[（v+a+1）/2]Γ[（v-a+1）/2]}（8）

得到分數極點系統的自相關與歸一化自相關：

rh(m)=(-1)mΓ(1-2d)/[Γ(1+m-d)Γ(1-m-d)]；m=0，1，2，3，…（9）

ρh(m)=rh(m)/rh(0)=[Γ(m-d)Γ(m+d)]/

[Γ(d)(1+m-d)]=(d+m-1)!/[(d-1)!(m-d)!]

（10）

2逆濾波系統

考慮如圖2所示的離散系統框圖，w(n)分別為SαS分布(α＜2)白噪聲， h(n)為分數極點系統，g(n)為逆濾波器。

系統H(z)的理想逆系統就是G(z)=1/H(z)=(1-z-1)d，同樣由級數展開法將G(z)展開為冪級數為

G(z)=(1-z-1)d=1-dz-1-(d(1-d)/2!)z-2-…-

[d(-d-1)…(-d+n-1)/n!]z-n+…(11)

可以得到：

g(n)=-d(-d-1)…(-d+n-1)/n!=(-d+n-1)!/[n!(-d-1)!]=Γ(n-d)/(Γ(n+1)Γ(-d))

（12）

g(n)=[(-d+n-1)/n] g(n-1)

對于逆濾波系統，其復值功率譜為Rg(z)=G(z)G(z-1)，其功率譜為

Rg(ejw)=1/[2 sin(w/2)]-2d-π＜w＜π（13）

當頻率w→0時，其功率譜為

limw→0 Rg(ejw)=1/w-2d（14）

對Rg(ejw)進行傅里葉反變換，得到逆濾波系統的自相關與歸一化自相關：

rg(m)=(-1)mΓ(1+2d)/[Γ(1+m+d)Γ(1-m+d)]（15）

ρg(m)=rg(m)/rg(0)=Γ(m+d)Γ(m-d)/[Γ(-d)Γ(1+m+d)]=(-d+m-1)!/[(-d-1)!(m+d)!]

（16）

3逆系統特性分析

為了能更好理解分數極點系統與逆系統的特性，由Sterling近似公式^[8]limn→∞(n+d-1)!/n!=nd-1得

limm→∞ ph(m)=C×m2d-1(17)

由此驗證了分數極點模型的長記憶效應。對于0＜d＜1/2，ph(m)衰減至0，且有

limw→0 Rh(ejw)=limw→0 1/w2d=∞

此時，頻譜為低頻部分（低通性質）。對于-1/2＜d＜0，ph(m)衰減至0，有

limw→0 Rh(ejw)=limw→0 1/w2d=0

此時，頻譜為高頻部分（高通性質）。由limn→∞(n-d-1)!/n !=n-d-1得

limm→∞ pg(m)=C×m-2d-1(18)

由此驗證了逆濾波系統模型也具有長記憶特性。對于0＜d＜1/2，pg(m)衰減至0，且有

limw→0 Rg(ejw)=limw→0 1/w-2d=0

此時，頻譜為高頻部分。對于-1/2＜d＜0，ph(m)衰減至0，有

limw→0 Rg(ejw)=limw→0 1/w-2d=∞

此時，頻譜為低頻部分。

筆者觀察n→∞時的脈沖響應，由Sterling近似公式得

limn→∞h(n)=1/(d-1)!×nd-1

limn→∞g(n)=1/(-d-1)!×n-d-1（19）

由于h(n)是幾何衰減，∑n=∞n=-∞｜h(n)｜在d＞0時并不存在，系統不是BIBO穩態的。

但是，∑n=∞n=-∞｜h(n)｜2在d＜1/2時存在。類似地，對于逆系統，如果d＞-1/2時，∑n=∞n=-∞｜g(n)｜2＜∞。因此，將-1/2＜d＜1/2時的分數極點系統看做是最小相位系統。

定理1^[9]假定w(n)為具有SαS分布(α＜2)的噪聲序列，如果某系統的脈沖響應滿足：

∑n=∞n=-∞｜h(n)｜p＜∞0＜p＜α（20）

那么，該系統的輸出x(n)就依概率1絕對收斂。

對于系統輸出x(n)，其收斂的必要條件是：

d＜1-1/α＜1/2（21）

當0＜α≤1，x(n)就絕對收斂；當1＜α≤2，且d≤0，x(n)就絕對收斂。對于逆系統輸出x(n)，其收斂的必要條件是：

d＞-(1-1/α)＞-1/2（22）

因此，如果-(1-1/α)＜d＜1-1/α，分數極點系統及其逆系統是最小相位系統。

4仿真實驗結果

d選取0.1、0.3、0.4，不同d值下的分數極點系統的脈沖響應h(n)及其歸一化自相關ρh(m)如圖3所示；不同d值下的逆系統脈沖響應g(n)及其歸一化自相關ρg(m)如圖4所示。系統的收斂區域與最小相位區域如圖5所示。

按照式（1）確定的穩定分布的四個參數，噪聲特征指數α選取1.8，β=0，γ=1，μ=0，產生一個長度為N=50的序列（信號產生方法參見文獻[3，10]）；d選取0.3，分數極點系統的輸入w(n)與逆濾波系統輸出v(n)，如圖6所示。

5結束語

α-穩定分布可以更好地描述實際應用中所遇到的具有顯著脈沖特性的隨機信號和噪聲。與其他統計模型不同，α-穩定分布沒有統一閉式的概率密度函數，其二階及二階以上統計量均不存在。針對分數極點系統中存在的獨立SαSG噪聲，本文提出一種分數極點系統中穩定分布噪聲的逆濾波方法，并分析了算法的長記憶、最小相位及收斂特性。計算機模擬實驗結果表明，這種算法是一種在SαS分布噪聲條件下具有良好韌性的逆濾波方法。

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