基于曲線參數(shù)方程的植物果實造型

（重慶大學 計算機學院， 重慶 400030）

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摘要：基于曲線參數(shù)方程的植物果實造型方法通過果實主軸線和截面曲線參數(shù)方程計算出果實表面的網(wǎng)格面以及各頂點的法線，從而實現(xiàn)了植物果實的造型；通過在曲線方程上疊加擾動函數(shù)解決了果實生長過程中的形變問題。實驗證明該方法能夠較逼真地模擬植物果實形態(tài)及其生長過程。

關(guān)鍵詞：植物果實造型；曲線參數(shù)方程；虛擬植物；果實生長

中圖分類號：TP3919文獻標志碼：A

文章編號：1001-3695(2008)11-3474-03

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Plant fruit modeling based on curve parametric equations

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LIU Ji，ZENG Ling-qiu，ZHU Qing-sheng

（College of Computer Science， Chongqing University， Chongqing 400030， China）

Abstract:The plant fruit modeling method addressed the issue of plant fruit modeling using fruit axis and sectional curve parametric equations to compute meshes and normal of vertexes in fruit surface. Then added perturbation functions to curve parametric equations to solve the deformation of fruit growth. Experiment shows that this method can realistically simulate the shape of plant fruit and fruit growth.

Key words:plant fruit modeling; curve parametric equation; virtual plant; fruit growth

0引言

虛擬植物就是應(yīng)用三維可視化等計算機技術(shù)在計算機中模擬三維空間下植物的生長發(fā)育過程，它在計算機動畫、電影制作、建筑設(shè)計、虛擬現(xiàn)實、計算機輔助教學、農(nóng)林業(yè)和植物生態(tài)等方面都有重要的應(yīng)用^[1~4]。將虛擬植物技術(shù)與現(xiàn)代農(nóng)業(yè)結(jié)合起來，對于擁有13億人口的農(nóng)業(yè)大國——中國，具有深遠而重大的意義。為了能夠真實地模擬植物的生長，對植物進行三維造型是必須解決的問題。目前虛擬植物的造型有許多方法，如針對植物的整體結(jié)構(gòu)和植物在生長過程的造型方法（L系統(tǒng)、IFS方法、A-系統(tǒng)、粒子系統(tǒng)方法等）^[5~8]以及針對植物葉子的多種造型方法^[9~11]，但是目前國內(nèi)外針對植物果實的造型技術(shù)則相對較少。大多數(shù)植物果實造型方法主要通過觀察特定植物果實的特點，然后利用Bezier曲面、NURBS曲面等空間曲面近似地對植物果實進行造型^[12~15]。這些造型方法只針對特定的植物果實，無法對多種植物果實進行造型。陸玲等人^[16]提出了基于曲面參數(shù)方程的果實造型方法，該方法使用凹凸紋理處理方式對橢圓球面參數(shù)方程進行變形，可以模擬多種不同形狀的植物果實。但該方法假定各種植物果實均由橢圓球面參數(shù)方程變形得來，無法對植物果實進行精確的形態(tài)描述；另外現(xiàn)有的植物果實造型方法也沒有考慮在植物生長過程中植物果實的形變問題。這些都不利于建立虛擬植物的可視化生長模型。

本文針對植物果實的造型問題和植物生長過程中果實的形變問題進行了研究，提出了一種基于參數(shù)化曲線方程的植物果實造型方法，并在該造型方法的基礎(chǔ)上，針對果實生長變化問題，提出了在參數(shù)方程上疊加擾動函數(shù)的解決方法。

1建立曲線參數(shù)方程

通過圖1所示的茄子圖片的分析可以發(fā)現(xiàn)，茄子的果實形態(tài)具有如下規(guī)律：a）有一條連接果實頭尾的軸線；b)將果實的截面串在果實的軸線上就形成了果實的形態(tài)。

通過對大量植物果實形態(tài)的分析也可以發(fā)現(xiàn)，許多植物的果實都具有相似的規(guī)律。如果能夠?qū)麑嵉妮S線以及串在軸線上的所有果實截面建立參數(shù)方程，那么就可以通過這些參數(shù)方程計算出果實的表面。設(shè)果實的軸線方程為A(t)，假定果實的軸線A(t)在XY（Z=0）平面上，則果實的軸線A(t)可以用如下的曲線方程進行描述：

X=AX(t)Y=AY(t)Z=0（1）

A(t)上任意一點的切線向量為K(t)，通過對A(t)求導數(shù)得出K(t)為

X=AX′(t)=dAX(t)/dt

Y=AY′(t)=dAY(t)/dt

Z=0（2）

若果實表面的參數(shù)方程為S(θ， t)且當t=t0時，S(θ， t0)確定了一條果實的截面曲線，記做L(θ，t0)。L(θ，t0)與軸線A(t)相交于A(t0)，且L(θ，t0)所處平面與A(t0)處的切線向量K(t0)成γ度。γ是關(guān)于參數(shù)t的函數(shù)，其公式為

γ=γ(t)（3）

其中γ(t)的值域為（0，π）。其含義為串在軸線A(t)上的所有果實截面曲線與軸線的夾角由函數(shù)γ(t)確定。在已知參數(shù)方程（1）~（3）的情況下可以根據(jù)圖2求出果實表面的參數(shù)方程S(θ，t)。

對于截面曲線L(θ，t0)，首先可以不考慮曲線所處的軸線位置以及與向量K(t0)的夾角γ(t0)，而只考慮曲線L(θ，t0)的形狀，即假設(shè)Lc (θ，t0)是YZ（X=0）平面上的一條曲線，該曲線的形狀與果實的截面曲線L(θ，t0)完全一致。曲線L(θ，t0)可以通過對曲線Lc (θ，t0)的旋轉(zhuǎn)和平移，按照如下方式得出：a)將曲線Lc (θ，t0)旋轉(zhuǎn)角度得到曲線L(θ，t0)。其中L(θ，t0)與切線向量K(t0)所成夾角也為γ(t0)。b)平移L(θ，t0)到軸線A(t)上點(AX(t0)，AY(t0)，0)處就可以得到曲線方程L(θ，t0)。設(shè)Lc(θ，t0)在YZ（X=0）平面上，其曲線方程如下：

依據(jù)上述推導，只要能夠建立參數(shù)方程（1）~（3）以及所有與果實截面曲線形態(tài)相同的在YZ（X=0）上的曲線方程（4），就可以建立植物果實表面的參數(shù)方程（6），由此可以惟一確定一個植物果實。方程（4）最為重要，該方程描述了軸線上任意一點的果實截面曲線的形態(tài)，也就是果實表面的形態(tài)。只有獲取了方程（4）才能通過網(wǎng)格面和頂點法線的計算方法得出植物果實的幾何造型。方程（1）~（4）可以通過人工指定的方式進行設(shè)置，也可以通過圖像處理技術(shù)從數(shù)字圖像中獲取。

2網(wǎng)格面與頂點法線的計算

由于三維模型以三角形或者四邊形網(wǎng)格描述物體的表面，為了建立果實的三維模型需要依據(jù)本文建立的參數(shù)方程計算出果實表面的網(wǎng)格面。網(wǎng)格面的計算方法如圖4所示。

設(shè)S（θ，t0）和S（θ，t0+Δt）是軸線上相鄰的兩個截面曲線，可以在S（θ，t0）找到兩點P1=S（θ0 ，t0），P2=S（θ0+Δθ，t0），在S（θ，t0+Δt）上也可以找到兩點P3=S（θ0+Δθ，t0+Δt），P4=S（θ0，t0+Δt）。連接P1、P2、P3、P4就可以得到一個四邊形網(wǎng)格。通過對軸線A上所有截面曲線進行計算則可以求得果實表面的全部網(wǎng)格面。其算法如下：

a)t0=參數(shù)t的最小值，Δt=參數(shù)t的增量，Δθ=參數(shù)θ的增量；

b)如果t0>參數(shù)t的最大值-Δt，則算法中止；

c)θ0=0；

d)如果θ0>2π-Δθ，則跳轉(zhuǎn)到g)；

e)求點P1=S（θ0 ，t0），P2=S（θ0+Δθ，t0），P3=S（θ0+Δθ，t0+Δt），P4= S（θ0，t0+Δt），連接P1、P2、P3、P4，輸出網(wǎng)格面；

f)θ0=θ0+Δθ，跳轉(zhuǎn)到d)；

g)t0=t0+Δt，跳轉(zhuǎn)到b)。

在三維渲染過程中，為了計算真實的光照，需要得出果實表面各頂點的法線。依據(jù)上文得出的參數(shù)方程，果實表面頂點的法線為向量N(θ，t)，其計算公式為

利用本文提出的方式對圖1所示的茄子以及香蕉和西瓜果實進行了三維造型，其結(jié)果如圖5所示。可以看出采用用本文提出的造型方法，能夠?qū)Χ喾N植物果實進行造型。

3果實的形變

為了真實地模擬植物生長過程，就必須解決果實的形變問題。在本文提出的造型方法基礎(chǔ)上，采取在參數(shù)方程(1)(3)(4)上疊加擾動函數(shù)的方式就可以實現(xiàn)果實的形變。設(shè)PA(t)、Pγ(t)、PLc (θ，t0)分別是軸線A(t)、角度γ(t)以及與果實截面曲線L(θ，t0)形狀相同的Lc(θ， t0)的擾動函數(shù)，則通過疊加擾動函數(shù)之后，新的軸線A′(t)、角度γ′(t)和Lc′(θ， t0)為

其中Δ代表運算符號，可以為“加”“減”“乘”“除”等數(shù)學運算。由于方程(1)控制了果實的軸線，方程(3)描述了果實截面與軸線的夾角，方程(4)描述了果實截面曲線，通過疊加擾動函數(shù)就能夠控制果實各個方向上的形態(tài)變化。同時疊加運算包括“加”“減”“乘”“除”等數(shù)學運算，因而能夠產(chǎn)生更多的變形行為。

圖5（a）是采用本文提出的果實造型方法對圖1建立的三維模型，現(xiàn)在采用如下參數(shù)方程對圖5（a）所建模型中茄子的軸線進行擾動：

X=1Y=（1/2π）e-t2/2

Z=1(12)

疊加運算取“乘”運算。在擾動后，茄子軸線的X、Z坐標均不發(fā)生變化，茄子軸線的Y坐標以“乘”的方式與正態(tài)分布函數(shù)進行了疊加，茄子變形之后的效果如圖6所示。

在圖5（a）中，茄子的軸線有一定的彎曲，經(jīng)過正態(tài)分布函數(shù)的擾動，降低了茄子軸線的彎曲度，形成了圖6中的茄子模型。

4結(jié)束語

本文提出的基于曲線參數(shù)方程的植物果實造型方法，不僅可用于茄子、香蕉、西瓜等多種植物果實的造型，而且對于果實生長過程中的形變，也能夠采用疊加擾動函數(shù)的方式予以解決。為了將該造型方法更好地應(yīng)用到虛擬植物的果實造型中，目前尚需要進一步研究如何獲取復(fù)雜植物果實的截面曲線參數(shù)方程，以及疊加何種擾動函數(shù)才能精確地與植物生長過程中的果實形態(tài)變化相對應(yīng)。

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