基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的邊緣檢測(cè)方法

(吉林大學(xué) a.通信工程學(xué)院；b.電子科學(xué)與工程學(xué)院， 長(zhǎng)春 130012)

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摘要：針對(duì)圖像的邊緣檢測(cè)問(wèn)題，提出了一種基于順序形態(tài)變換和局部熵相結(jié)合的邊緣檢測(cè)方法。該檢測(cè)方法構(gòu)造了基于百分位順序形態(tài)變換的邊緣檢測(cè)算子，根據(jù)不同結(jié)構(gòu)元素的尺度大小與結(jié)構(gòu)元素的類型，選擇不同的形態(tài)變換的百分值，從而使變換結(jié)果圖像的局部熵最小，利用局部熵的特性，有效地銳化了圖像邊緣。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，與傳統(tǒng)的邊緣檢測(cè)方法相比，該方法具有很強(qiáng)的抑制噪聲能力和良好的邊緣檢測(cè)性能。

關(guān)鍵詞：百分位形態(tài)變換；邊緣檢測(cè)；局部熵；圖像處理

中圖分類號(hào)：TP39141文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1001-3695(2008)11-3496-02

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Edge detection method based on math morphological transform

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YAN Hai-xiaa，b，ZHAO Xiao-huib

(a. College of Communication Engineering， b. College of Electronic Science Engineering， Jilin University， Changchun 130012， China)

Abstract:A algorithm based on percentile morphological transform and local entropy was proposed for edge detecting. This method selecting percentile morphological transform values were decided by structure size and structure type which were used on percentile morphological transform， in order to minimize the local entropy of local area. Experiment results show that， compared with the traditional edge detecting method， this method enhances the edge and decreases the noise.

Key words:percentile morphological transform; edge detecting; local entropy; image process

邊緣是圖像最基本的特征，邊緣檢測(cè)在計(jì)算機(jī)視覺、圖像分析等應(yīng)用中起著重要作用，是圖像分析與識(shí)別的重要環(huán)節(jié)，這是因?yàn)閳D像的邊緣包含了用于識(shí)別的有用信息。邊緣檢測(cè)的結(jié)果直接決定著后續(xù)處理的精度。盡管傳統(tǒng)的邊緣檢測(cè)方法很多，如基于空間運(yùn)算Laplace算子、Sobel算子和梯度算子等，但大量數(shù)字圖像處理結(jié)果表明，這些邊緣檢測(cè)算子對(duì)方向性比較敏感，抗噪聲干擾能力差，一般很難得到滿意的檢測(cè)結(jié)果^[1]。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)是一門建立在嚴(yán)格數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)上的學(xué)科。其基本思想是用具有一定形態(tài)的結(jié)構(gòu)元素去度量和提取圖像中的對(duì)應(yīng)形狀，以達(dá)到對(duì)圖像分析和識(shí)別的目的。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)濾波是數(shù)字圖像處理和計(jì)算機(jī)視覺研究中的一種新方法，是基于集合的運(yùn)算，具有非線性特性，已經(jīng)成為近年來(lái)的研究熱點(diǎn)^[2，3]。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)與其他技術(shù)的結(jié)合，如用于檢測(cè)生物芯片圖像^[4，5]，擴(kuò)展了一些濾波器（如柔性形態(tài)濾波器^[6]、非線性濾波器^[7]），并且廣泛應(yīng)用到圖像的邊緣檢測(cè)^[8，9]、計(jì)算機(jī)視覺、圖像處理、噪聲濾波等領(lǐng)域。

1邊緣檢測(cè)算法

11順序形態(tài)變換

順序形態(tài)學(xué)是建立在傳統(tǒng)形態(tài)學(xué)基礎(chǔ)上，將順序統(tǒng)計(jì)法注入數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)而產(chǎn)生的一般形態(tài)學(xué)。順序形態(tài)變換概括了Minkowski結(jié)構(gòu)和與差運(yùn)算，是中值濾波和Minkowski結(jié)構(gòu)和與差的拓廣，是有限數(shù)據(jù)排序的應(yīng)用。順序形態(tài)學(xué)在圖像平滑中抑制噪聲，保留圖像的邊緣信息，成為圖像濾波、邊緣檢測(cè)的有力工具^[2，3]。

定義1設(shè)f(x)為定義在zn(n維離散數(shù)字空間)上的一個(gè)離散函數(shù)，B={x1，x2，…，xn}為結(jié)構(gòu)元素，且0＜μ(B)＜+∞(測(cè)度μ(·)為點(diǎn)計(jì)數(shù))。f(x)在B上的n個(gè)值依次從小到大排列為f(x*1)≤f(x*2)≤…≤f(x*n)，那么f(x)在B上的d階順序量定義如式(1)所示。

ord{d，f|B}=f(x*d)；d=1，2，…，n（1）

定義2離散函數(shù)f(x)關(guān)于結(jié)構(gòu)元素B的順序形態(tài)濾波f○pB如式(2)所示。

f○pB（x）=ord{d，f|BSX}=ord{(N-1)p+1，f|BSX}p=0，1/(N-1)，…，1(2)

其中：BSX={x-b，b∈B}，d=(N-1)p+1。這里p稱為順序形態(tài)濾波的百分位值，d稱為順序形態(tài)濾波的階數(shù)。

12多元結(jié)構(gòu)的復(fù)合順序形態(tài)學(xué)邊緣檢測(cè)算子

灰度圖像的復(fù)合順序形態(tài)變換如式(3)所示，它是圖像f(x，y)對(duì)結(jié)構(gòu)元素B的二重對(duì)稱混合順序形態(tài)變換。

f(p，q)B=(f(○p)B)(○q)B(p，q=0，1/k-1，…，1)（3）

n重復(fù)合順序形態(tài)變換定義如式(4)所示。

f○pnB=(…(f○pB)○pB…)○pB n次（4）

n重串行復(fù)合順序?yàn)V波定義如式(5)所示。

g(x)=(…(f○p 1B1)○p 2B2)…○p nBn)(x)（5）

其中μ(Bn)=kn，pn=(dn-1)/kn-1。

灰度圖像的多元結(jié)構(gòu)復(fù)合百分位順序形態(tài)如式(6)所示。

f(p，q)B1B2=(f(○p)B1)(○q)B2(p，q=0，1/k-1，…，1)（6）

13圖像局部熵

圖像局部熵反映了圖像中局部區(qū)域灰度變化的程度。設(shè)f(i， j)是點(diǎn)(i， j)的灰度，顯然f(i， j)≥0。對(duì)于一幅M×N大小的圖像，圖像的熵如式(7)所示。

F′i， j=-Mi=1Nj=1Pi， jlog Pi， j （7）

其中Pi， j=f(i， j)/Mi=1Nj=1f(i， j)。

局部熵反映了圖像灰度的離散程度，在局部熵大的地方，圖像灰度相對(duì)較均勻；局部熵小的地方，圖像灰度離散性較大，從而可以有效地檢測(cè)圖像邊緣。由于圖像邊緣灰度起伏較大，其熵值較小；圖像背景部分由于圖像平滑，由熵定義可知，其熵值較小。圖像局部熵適用于圖像邊緣檢測(cè)。式(7)定義的圖像局部熵采用了對(duì)數(shù)運(yùn)算，其運(yùn)算量大、運(yùn)行速度慢。這里由于Pi， j>>1，由泰勒展開得到近似計(jì)算公式，如式(8)所示。

F′i， j=--Mi=1Nj=1Pi， j(Pi， j-1)=1-Mi=1Nj=1

Pi， j2 （8）

14百分位形態(tài)變換與圖像局部熵相結(jié)合的邊緣檢測(cè)算法

基本邊緣檢測(cè)圖像內(nèi)邊緣、圖像外邊緣算子如下：

f=f(x，y)p○pB-f(x，y)（9）

f=f(x，y)-f(x，y)○q B

百分位數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)變換是在結(jié)構(gòu)元素內(nèi)的一種排序運(yùn)算，百分位順序形態(tài)變換的影響因素是結(jié)構(gòu)元素B的形態(tài)和尺寸、百分位值的大小，以及百分位變換的組合方式。本文根據(jù)邊緣檢測(cè)的要求，構(gòu)造出適合邊緣檢測(cè)的百分位形態(tài)算子。當(dāng)結(jié)構(gòu)元素B的權(quán)重大時(shí)，適當(dāng)減小百分位參數(shù)p值；當(dāng)結(jié)構(gòu)元素B的權(quán)重小時(shí)，適當(dāng)增大百分位參數(shù)p值。這樣構(gòu)造出不同權(quán)重的和尺度和結(jié)構(gòu)元素B值，用于圖像的邊緣檢測(cè)。



這里構(gòu)造基于不同的尺寸的結(jié)構(gòu)元素的邊緣檢測(cè)算子：

f=f(x，y)○pmBi-f(x，y)○psBj（10）

其中：0≤i，j≤(2n+1)，0≤m，n≤(2n+1)。

在算法中使用不同結(jié)構(gòu)尺寸的結(jié)構(gòu)元素，Bi的尺度為2、Bj的尺度為1。結(jié)構(gòu)元素分別定義為水平、垂直、兩條對(duì)角線方向四種結(jié)構(gòu)元素。

當(dāng)進(jìn)行第一項(xiàng)變換時(shí)，在(2n+1)×(2n+1)的區(qū)域內(nèi)，對(duì)原始圖像進(jìn)行百分位順序形態(tài)變換，對(duì)每一個(gè)m、i都存在一個(gè)變換結(jié)果：

gm，i(x，y)=f(x，y)pmBim=0，1/(N-1)，…，1；1≤i≤T（11）

其中：T為結(jié)構(gòu)元素的數(shù)量。

(2n+1)×(2n+1)區(qū)域的局部熵為

F′m，i=-2n+1p=12n+1i=1Pm，i log Pm，i

Pm，i=f(m，i)/2n+1p=12n+1i=1f(m，i)（12）

基于局部熵的順序百分位變換的結(jié)果如式(13)所示。

g(x，y)={minm，iF(x，y)} （13）

對(duì)于式(10)的第二項(xiàng)，根據(jù)邊緣檢測(cè)算法的具體要求，若使用尺寸結(jié)構(gòu)大的邊緣檢測(cè)算子，邊緣檢測(cè)效果差。這里采用小尺寸的結(jié)構(gòu)元素。其處理方法與第一項(xiàng)處理方法相同。

可以證明，構(gòu)造的邊緣檢測(cè)算子具有數(shù)學(xué)形態(tài)變換的基本性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)性、對(duì)稱性、截集性。

2邊緣檢測(cè)結(jié)果

實(shí)驗(yàn)圖像1采用標(biāo)準(zhǔn)的Lena圖像，圖像大小為256×256，數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為8位。結(jié)構(gòu)元素Bi的尺度為2，百分位形態(tài)變換N值為25，結(jié)構(gòu)元素Bi的類型為水平、垂直、兩條對(duì)角線方向四種類型。Ti=4。結(jié)構(gòu)元素Bj的尺度為1，百分位形態(tài)變換N值為9，結(jié)構(gòu)元素Bj的類型為水平、垂直方向兩種類型。Tj=2。結(jié)構(gòu)元素Bj在有效值上權(quán)值為1，其他位置權(quán)值為0。基本邊緣檢測(cè)方法采用的是圖像外邊緣檢測(cè)算子。結(jié)構(gòu)元素Bi、Bj如式(14)所示，基于結(jié)構(gòu)元素Bi采用不同權(quán)值，加強(qiáng)圖像在該局部區(qū)域的灰度值，以增強(qiáng)邊緣檢測(cè)效果。

原始圖像如圖1(a)所示，使用本文構(gòu)造的邊緣檢測(cè)算子，進(jìn)行邊緣檢測(cè)結(jié)果如圖1(b)所示。從結(jié)果中可以看出圖像的邊緣清晰，而且對(duì)各個(gè)邊緣均有很好的效果。使用基本的外邊緣檢測(cè)算子的檢測(cè)結(jié)果如圖1(c)所示。比較圖1(b)和(c)可以看到，本文方法檢測(cè)結(jié)果的邊緣明顯，可以清楚地觀察到圖像的輪廓，而且不含偽邊緣。圖1(d)Sobol算子的檢測(cè)結(jié)果有很大噪聲，不能清楚地觀察到圖像邊緣。

為說(shuō)明邊緣檢測(cè)效果，實(shí)驗(yàn)2采用了遙感地面圖像，如圖2(a)所示。圖像大小為300×186，數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為8位。圖2(b)是遙感圖像的邊緣檢測(cè)結(jié)果。由圖2(b)可以看到，本文檢測(cè)方法檢測(cè)結(jié)果道路輪廓清晰可見，并且噪聲小。圖2(c)為基本邊緣算子檢測(cè)結(jié)果，其道路輪廓不清晰；而圖2(d)Sobol算子的檢測(cè)結(jié)果有很大噪聲，不能清楚地觀察到道路邊緣。

3結(jié)束語(yǔ)

本文提出了一種基于順序形態(tài)學(xué)和圖像局部熵的圖像邊緣檢測(cè)方法。通過(guò)局部區(qū)域的圖像熵值決定結(jié)構(gòu)元素的尺度與結(jié)構(gòu)元素的類型，以及數(shù)學(xué)形態(tài)變換的百分位值，利用圖像熵值加強(qiáng)圖像在各方向的邊緣信息，該邊緣檢測(cè)算子可以最大程度上抑制噪聲，提高各個(gè)方向上的邊緣特性，可以有效地提高圖像的邊緣檢測(cè)效果。

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