詩歌中的“植樹”問題

春分艷陽暖，園中植樹忙；

每行植三株，九株栽十行；

種法有多樣，請你試試看。

這是一位英國數學家在1821年出的一道智趣題，也是初二（1）班“數學興趣小組”研究的課題。

小麗心直口快，搶先發表意見：“每行植三株，九株栽十行似乎有問題，我看需要三十株樹才行！”

小麗話音剛落，小琳馬上發表不同意見：“你講得不對！成語‘縱橫交錯’啟示我們，行可以有橫行、縱行以及交叉的行，大家還是往這方面動動腦筋吧！”

小順是個慢性子，說話慢條斯理：“數學家華羅庚先生十分贊賞‘退’中求進的解題策略，我們不妨把問題‘退’到較為簡單的情況：九株栽八行，每行三株，怎樣栽？”

性急的小春突然搶著說：“這個問題不難！我們可以把九株樹栽在正方形的四個頂點、四邊中點及中心九個位置，恰好成八行，且每行三株。”

聽了小春這番話，大家畫出“九株栽八行”的圖形如圖1所示。

看到“九株栽八行”問題的順利解決，心直口快的小麗又搶著說：“我們可以把問題的難度加大：九株栽九行，每行三株，怎樣栽？”

“九株栽八行”問題的迅速解決，鼓舞了“數學興趣小組”的成員，他們在紙上畫來畫去，總想利用圖1作些調整，即移動一株或幾株樹的位置后，增加一行。可移來移去，總不成功。此時，組長小發靈機一動：“我們換個角度思考，放棄正方形，考慮另一個特殊圖形——等邊三角形吧！”

小琳回頭表示贊同：“哦，這個思路不錯！我們可以在等邊三角形的三個頂點A、B、C，三邊中點D、E、F及中心O栽下七株樹，已成六行，剩下的兩株樹栽在哪里，才能再增加三行呢？”

小富是本班的“數學通”，他胸有成竹地說道：“栽兩株增三行的方法不止一種，可能有的同學想延長BF、CD交過點A的一條直線，但這樣不行，因為不能一行四株。而延長ED、EF交過點A的一條直線于G、H，在G、H兩點處栽兩株樹，恰好增加三行，共九行，且每行三株。”接著他在黑板上畫了如圖2所示的“九株栽九行”的示意圖。

此時，小麗興奮地說：“現在離光輝的頂點只差一行，該調整哪株樹的位置，才能增加一行呢？”

未等小麗說完，小春便迫不及待地說：“圖2中D、O、F三點不共線，若這三點共線，不就增加一行了嗎？！我們不妨將點O上移到AE的中點，就成功了！”接著她在黑板上畫了如圖3所示的“九株栽十行”的示意圖。

最后，組長小發作了小結，他說：“今天，大家的收獲很大，我們不僅解決了‘植樹’問題，更重要的是嘗到了‘退中求進’這種解題策略的甜頭，學會了把復雜問題轉化為簡單問題。英國數學家道奇生在《艾麗絲漫游仙境》一書中也提出了一個‘栽樹’問題：10棵樹栽成5行，怎樣栽可使每行有4棵樹？據說此題答案有300多種，你能給出幾種答案呢？”

同學們，現在該是你動腦動手，施展才華的時候了！