擬恰當(dāng)半群之間的關(guān)系探析
2008-12-31 00:00:00姚慧玲
現(xiàn)代商貿(mào)工業(yè) 2008年8期
摘 要：擬恰當(dāng)半群有許多類，給出豐富的例子說明了類型半群、弱類型半群與好擬恰當(dāng)半群這幾類擬恰當(dāng)半群之間的關(guān)系。
關(guān)鍵詞：擬恰當(dāng)半群；類型W半群；弱類型W半群；好擬恰當(dāng)半群
中圖分類號(hào)：0152.7文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1672-3198（2008）08-0288-02
作為純正半群在富足半群中的推廣，擬恰當(dāng)半群吸引了許多作者的關(guān)注。El-Qallali在1981年于文獻(xiàn)［1］中提出了類型W半群，又在1992年于文獻(xiàn)［2］中提出了弱類型W半群，這兩類擬恰當(dāng)半群的結(jié)構(gòu)都已經(jīng)給出。最近，K.P. Shum［3］等提出了好擬恰當(dāng)半群。本文致力于研究類型W半群、弱類型W半群和好擬恰當(dāng)半群這兩類擬恰當(dāng)半群之間的關(guān)系。
本文采用文獻(xiàn)［4］、［5］和［6］中使用的記號(hào)。
1 基本概念和結(jié)果
首先回顧有關(guān)富足半群的定義和性質(zhì)。對(duì)半群S的元素a和b，aL*b表示對(duì)任意的x，y∈S1當(dāng)且僅當(dāng)bx=by。關(guān)系R*可對(duì)偶地定義。顯然，L*是S上的右同余而R*是S上的左同余。對(duì)所有關(guān)于L*的結(jié)論，對(duì)偶地有關(guān)于R*的結(jié)論。L*⌒R*記為H*。眾所周知且容易證明對(duì)于正則元x，y∈S1，(x，y)∈L*當(dāng)且僅當(dāng)(x，y)∈L*。特別地，如果S是正則半群，則L=L*。半群稱為富足半群，若它的每個(gè)L*-類和每個(gè)R*-類都包含一個(gè)冪等元。對(duì)于a∈S，a*表示La*⌒E(S)中的一個(gè)典型冪等元，a+表示R*a⌒E(S)中的一個(gè)典型冪等元。稱一個(gè)富足半群為擬恰當(dāng)［恰當(dāng)］半群，如果它的冪等元集形成一個(gè)帶［半格］。在本文中用E(S)表示半群S上的冪等元集。
稱半群同態(tài):S→T為好同態(tài)如果對(duì)S的所有元素a，b：aL*意味著aL*b以及aR*(S)b意味著aR*(T)b。稱半群S上的同余ρ為好同余，如果從S到S/ρ上的自然同態(tài)是好同態(tài)。
半群S上的關(guān)系μL，μR，和μ定義如下（文獻(xiàn)［5］）：
（a，b）∈μL當(dāng)且僅當(dāng)（ea，eb）∈L*(e∈E)，
（a，b）∈μR當(dāng)且僅當(dāng)（ae，be）∈L*(e∈E)，
μ=μL⌒μR
擬恰當(dāng)半群S上的關(guān)系δ定義如下（文獻(xiàn)［1］）：對(duì)所有的a，b∈S，aδb當(dāng)且僅當(dāng)存在a+，a*，b+，b*使E(a+)aE(a*)=E(b+)bE(b*)。
其中E(e)是帶E(S)中的包含e的J-類。
命題1 （文獻(xiàn)［1］）S上的關(guān)系δ是同余當(dāng)且僅當(dāng)aE(a*)E(b+)bE((ab)+)abE((ab)*)對(duì)所有的 成立。
設(shè)半群S是擬恰當(dāng)半群，其冪等元集為B，稱S是滿足IC條件的當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意的a∈S，對(duì)某些a+∈R*a⌒E(s)，a*∈R*a⌒E(s)，a*∈L*a⌒E(s)存在雙射α:＜a+＞→＜a*＞滿足xa=a(xα)(x∈＜a+＞)。滿足IC條件且關(guān)系δ是同余的擬恰當(dāng)半群稱為類型W半群。若擬恰當(dāng)半群S上的關(guān)系μ是好同余，而關(guān)系δ是同余，則稱S是弱類型W半群。
定義1 （文獻(xiàn)［3］）設(shè)S是擬恰當(dāng)半群。我們稱以下條件為弱類型A條件：
對(duì)任意的a，b∈S和e，f∈E(s)，WTA(i)αefR*(ae+)af，WTA(ii)fealL*fa(ea)*。
如果擬恰當(dāng)半群S滿足弱類型A條件，且關(guān)系δ是S上的同余，則稱S為好擬恰當(dāng)半群。恰當(dāng)?shù)暮脭M恰當(dāng)半群成為好恰當(dāng)半群。
2 主要結(jié)論
例1 （文獻(xiàn)［5］中的例2.2）令s={e，f，g，h，z，a，b，c}，其乘法運(yùn)算Cayley表如下：
#8226;efghzabc
eefgzzabc
fffzzzbbz
ggzgzzczc
hzzzhzzzz
zzzzzzzzz
azzzazzzz
bzzzbzzzz
czzzczzzz
由表中可看出，E（S）={e，f，g，h，z}為半格，S上的L*-類分別為：{a，b，c，h}，{e}，{f}，{g}，{z}，S上的R*-類分別為：{a，e}，{b，f}，{c，g}，{h}，{z}，而δ=μ=H*=ts，即S上的恒等關(guān)系，所以S是弱類型W半群。但由于gfa=za=z，ga(fa)*=ch=c，而z與c并無L*關(guān)系，因而gfa與ga(fa)*，即L*不滿足條件WTA(ii)，從而S是弱類型W半群但不是好擬恰當(dāng)半群。
例2 （文獻(xiàn)［5］中的例2.4）設(shè)A是由元素a生成的無限循環(huán)半群，B是由元素b及恒等元e生成的無限循環(huán)幺半群。令S=A∪B∪{1}，其中1為S的恒等元。定義S上的乘法為：ambn=bm+n，bnam=am+n其中m，n∈Z，m＞0，n≥0，且b0=e。則S上的冪等元集為{1，e}。S上的L*-類分別為：A∪{1}，B，S上的R*-類分別為：A∪B，{1}。經(jīng)驗(yàn)證S是好擬恰當(dāng)半群，但是S上μL-類為A，B，{1}，而μR，即μ=μL∩μR=μL，S/μ=R2∪{1}，其中R2是僅含兩個(gè)元素的右零半群。由于1與a在S上有L*關(guān)系，而1μ在aμ上并無L*關(guān)系，所以S是好擬恰當(dāng)半群但不是弱類型W半群。
從上述兩個(gè)例子我們可以得出：
結(jié)論1：弱類型W半群和好擬恰當(dāng)半群是兩類互不包含的擬恰當(dāng)半群。
既然如此，弱類型W半群和好擬恰當(dāng)半群是否包含了所有的擬恰當(dāng)半群呢？既是弱類型半群又是好擬恰當(dāng)半群的擬恰當(dāng)半群是否存在呢？針對(duì)以上問題，我們通過兩個(gè)例子來回答。
例3 （文獻(xiàn)［5］中的例2.2）令S={e，f，g，h，z，a，b，c}，其乘法運(yùn)算Cayley表如下：
#8226;efghzabc
eefghzabc
fffghzbbz
ggfghzcbc
hzzzhzzzz
zzzzzzzzz
azzzazzzz
bzzzbzzzz
czzzczzzz
由表中可看出，E(S)={e，f，g，h，z}為帶，S為擬恰當(dāng)半群。由于fE(f)E(a+)a=f{f，g}ea={b，c}{b}={f，g}bh=E((fa)+)faE((fa)+)faE((fa)*)，由命題1知δ不是S上的同余，從而S既不是弱類型W半群也不是好擬恰當(dāng)半群。
例4 令S={e，f，h，z，a}，其乘法運(yùn)算Cayley表如下：
#8226;ahefz
azazzz
hzhzzz
eazefz
fazffz
zzzzzz
由表中可看出，E(S)={e，f，h，z}為帶，S上的L*-類分別為：{a，h}，{e}，{f}，{z}，S上的R*-類分別為：{a，f}，{e}，{h}，{z}。
而δ=μ=H*=ts，即S上的恒等關(guān)系，所以S是弱類型W半群。可以驗(yàn)證S滿足弱類型A條件，因而S也是好擬恰當(dāng)半群。易證S滿足IC條件，因而也是類型W半群。
結(jié)論2弱類型W半群和好擬恰當(dāng)半群并非包含了所有的擬恰當(dāng)半群，弱類型W半群和好擬恰當(dāng)半群這兩類半群的交集非空。
文獻(xiàn)［2］告訴我們，類型W半群是弱類型W半群的真子集，而例4給出了一個(gè)既是弱類型W半群又是好擬恰當(dāng)半群的類型W半群的例子。問題：既是弱類型W半群又是好擬恰當(dāng)半群的一定是類型W半群?jiǎn)幔肯吕嬖V我們并非如此。
例5 令S={e，f，g，h，z，a}，其乘法運(yùn)算Cayley表如下：
#8226;ahefgz
azazzzz
hzhzzzz
eazefgz
fazffgz
gazgfgz
zzzzzzz
由表中可看出，E(S)={e，f，g，h，z}為帶，S上的L*-類分別為：{a，h}，{e}，{f}，{g}，{z}，S上的R*-類分別為：{a，f，g}，{e}，{h}，{z}，S上的δ-類分別為：{a}，{f，g}，{e}，{h}，{z}而μ=H*=ts，即S上的恒等關(guān)系，易證δ是S上的同余，所以S是弱類型W半群。可以驗(yàn)證S滿足弱類型A條件，因而S也是好擬恰當(dāng)半群。注意到＜a+＞={f，g，z}，而＜a*＞{h，z}，＜a+＞之間不可能存在雙射，所以S不滿足IC條件，因而不是類型W半群。
綜上所述，類型半群、弱類型半群與好擬恰當(dāng)半群這幾類擬恰當(dāng)半群之間的關(guān)系用維恩圖表示如上圖。
參考文獻(xiàn)
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