引力發散悖論研究
2008-12-31 00:00:00徐薄
現代商貿工業 2008年10期
摘 要：無限宇宙遇到了一系列的困難，引力發散悖論就是其一。于是，科學家提出了一些有限宇宙模型，其中比較有代表性的是大爆炸模型，又叫做標準宇宙模型。標準模型能很好的符合實驗觀測結果，但也存在著一些根本性困難。而無限子宇宙模型將無限宇宙與標準宇宙模型有機和諧地結合在一起，指出宇宙是由無限個有限子宇宙構成。它克服了無限宇宙和有限宇宙所各自面對的困難，因而是一種較為可信的宇宙模型。
關鍵詞：引力發散悖論；標準宇宙模型；膨脹動力學方程；無限子宇宙模型
中圖分類號：O3文獻標識碼：A文章編號：1672-3198（2008）10-0373-03
1 引力發散悖論
從經典的無限宇宙出發，1894年，德國天文學家西利格提出了所謂的引力發散悖論。經典宇宙觀念認為宇宙空間是無限的歐幾里德空間，無限多的宇宙物質大體上以均勻的密度分布于宇宙中，即宇宙中物質的密度處處不等于零。萬有引力定律是普適的。
下圖畫出了來自某小錐體中物質的引力(對質元O)。把錐體分成無數個厚度為dr的薄殼，考慮距O為r的殼，牛頓萬有引力定律講，引力與距離平方成反比，而與殼內質量成正比。即
F∝1r2，F∝m
而殼內的質量又正比于r2。即
m∝r2
因此遠近不同的殼對質元O產生同樣大的引力。那么，這小錐體中物質對O的總引力是無窮大。當然，對頂方向上的物質將在相反方向上也產生一個無窮大的引力。那么，兩個無窮大之差是多大?這在數學上是沒有明確答案的。但在天文觀測中，并沒有發現這種情況。經典宇宙學理論和觀測事實之間的這個矛盾，就是引力發散悖論，或稱西利格佯謬。
引力發散悖論的提出，直接對宇宙的無限模型發出了詰難。為了解決這一困難，人們曾提出多種有限宇宙模型，其中占主導地位的是大爆炸模型，又稱標準宇宙模型。
2 標準宇宙模型
2.1 膨脹的動力學
雖然我們在宇宙中的位置沒有特殊性，但為研究方便，依然把坐標原點取在我們所在的銀河系。其他質元(星系)的位置由廣義的球坐標r，θ和φ標記。這里用的是隨體坐標，意即在宇宙運動(膨脹或收縮)中，每一質元的坐標r是不變的。它與我們的距離的變化將由尺度因子R(t)來描述。這樣，純用數學可證明，四維距離的平方總能寫成
ds2=-c2dt2+R（t）2dr21-kr2+r2dθ2+r2sin2θdφ2（1）
這種描寫均勻各向同性時空的度規叫Robertson-Walker度規。當僅考慮到均勻和各向同性，式中的尺度因子R(t)可以是任意函數。宇宙的具體運動情況應由動力學方程決定。此外，式中還含有一個任意常數k，其大小只能由實際測量來確定。k=1時，宇宙空間的曲率為正，宇宙是有限封閉的。k=0時，曲率為零，為平坦空間。k=-1時為負曲率空間。后二者均為無限開放宇宙，這三種是理論上的一切可能。實際的宇宙只能是這三種可能類型中的一種。
宇宙介質作為引力源，它被看成均勻的理想“氣體”。其物理性質用密度ρ和壓強P來描述。在宇宙膨脹或收縮的過程中，隨尺度因子R的變化，密度和壓強也將在變化。也就是說，ρ和P也都是時間t的函數。考慮到所有有關的物理量都只與時間有關，而與空間點無關。所以所得到的必定是一組簡單的常微分方程。
把宇宙的Robertson-Walker度規代入愛因斯坦方程
Rμγ-12Rgμγ=-8πGc4Tμγ（2）
中，在適當整理后，得出兩個常微分方程如下:
2+k=8πG3ρR2（3）
=-4πG3（ρ+3P）R（4）
這里，我們采用c=k=h=1的自然單位制。
把(3)式兩邊對時間求微商，曲率因子k將不在出現。然后與(5)式聯立消去R，即可導出
d（ρR3）=-Pd（R3）（5）
由上式可知，宇宙膨脹(或收縮)時，坐標r固定的求內的質量(即能量)的貢獻。因熱運動速度遠小于光速，所以對實物有P<<ρ。人們常把這性質寫成P=0，叫實物的物態方程。這樣易于從(5)式解出
ρmR3=常量（6）
我們對物理量加下標0代表今天的值。利用
ρR3=ρ0R03（7）
(3)式可重寫作
R02+KR02=8πG3#8226;ρ0R0R（8）
用于今天，可得到一個代數關系
H20＋kR02=8πg3ρ0（9）
其中H0是哈勃常數。用k和H20作為輸入參量。當k=0時，由(8)式可得
R(t)R0=3H0t22/3（10）
這是一個很簡單的關系:時間增大三個量級，則尺度因子增大兩個量級。
宇宙膨脹的加速度常用一個無量綱量
q=-R/2（11）
來描寫。q被稱為減速因子。
哈勃常數H0和減速因子q0均為可觀察的量。當H(t)>0時，宇宙是膨脹的。H(t)<0時，宇宙是收縮的。通過對遙遠星體的紅移觀察，哈勃常數最佳估計近似值為55±7公里/秒。所以，宇宙是膨脹的。
2.2 有限的宇宙
利用哈勃常數H0是可觀測的量，定義一個密度量綱的量
ρc=3H028πG（12）
它也是能用觀測確定的量。把H0寫作
H0=100h#8226;km#8226;s-1#8226;Mpc-1（13）
H0的不確定性表現為
H=0.5～0.8（14）
它實際上是以100km#8226;s-1#8226;Mpc-1為單位的無量綱哈勃常數。這樣，ρc的大小為
ρc=1.9h2#8226;10-29g/cm3（15）
引入了ρc，由（9）式可以得到
3k8πGR02=ρ0-ρc（16）
從上述關系式可以看出，若今天的宇宙密度ρ0比ρc大，則表明曲率因子k是正值，即宇宙封閉有限，反之若ρ0等于ρc或比ρc小，則表明k是零或負數，即宇宙開放無限。ρc是這判據中的臨界量。因而它被稱為臨界密度。
2.3 熱大爆炸模型
如果宇宙在長時間內一直膨脹著，那么物質密度就一直在逐漸變稀。往前追溯至尺度為今天的百分之一時，宇宙密度將達到今天的106倍，超過了星系的密度(約為今天宇宙密度的105倍)，于是星系將擠在一起。實際上，它們不能存在。由此可見，宇宙的結構在某一時間之前是不存在的，它只能是演化的產物。
在沒有結團之前，宇宙一大片由微觀粒子構成的均勻氣體。在熱平衡下有均勻的溫度，稱為宇宙溫度。氣體的絕熱膨脹將使宇宙溫度降底。反之，往前追溯，越早的宇宙就有越高的溫度。這樣，甚早期的宇宙就應當是溫度很高，密度很大的氣體，它以很大的速率膨脹著。可以設想宇宙誕生的時候，物質密度為無限大，這時，空間是高度彎曲的，能量集中為引力能。隨著宇宙的膨脹，引力能逐漸轉化為粒子能，從而產生各種各樣的粒子。這個大爆炸模型由于只用了已知的物理學規律，非常簡單地描述了宇宙的性質、運動和演化，并得到了觀測事實的支持，現在已為大多數學者所認可，稱之為宇宙學的標準模型。在這個模型中，空間是與物質聯系在一起的，爆炸的含義是空間本身在膨脹，并不是說有一團物質在已經存在的空間爆炸碎裂而散開。
3 有限宇宙的困難和引力發散悖論的進一步討論
3.1 有限宇宙的困難
大爆炸模型是建立在有限宇宙基礎之上的，而有限宇宙則存在“蒸發”和最后開放式爆炸而死亡相矛盾。
愛因斯坦在批駁恒星宇宙是無限空間海洋中的一個有限島嶼時寫道：“它導致了下述結果：從恒星發出的光以及恒星中各個個別恒星不斷奔向無限的空間，一去不返，而且永遠不再與其它自然客體相互發生作用，這樣一個有限的物質宇宙將注定逐漸而系統地被削弱。”
然而，有人提出（如Gurk），宇宙本身就是最終的黑洞，這樣似乎一切物質都不能逃逸出去了，宇宙可以是有限的。其實不然，因為黑洞也還是要向周圍“蒸發”物質的，隨著黑洞不斷發射粒子，它的質量和大小將逐漸減小，這終將使黑洞因輻射耗盡而不復存在。
這種蒸發過程也符合熱力學第二定律，如果宇宙是有限的，熱寂說將成為可能，由熱力學第二定律
ds≥dQdT(17)
在絕熱過程中，dQ=0。則上式ds≥0，即在絕熱過程中熵永遠不會減少，對于可逆過程，系統的熵不變，對于不可逆過程，系統的熵增加。如果宇宙是有限的孤立系統，那么宇宙的發展過程就是一個絕熱過程，也就會出現克勞修斯所說的“宇宙的能量是不變的，宇宙的熵趨于極大值”即“熱死”來臨了。
在宇宙的年齡問題上，標準模型也不能夠很好地解決，當英國物理學家米爾恩用標準模型計算宇宙的年齡是二十億年時，可是地球的年齡比它還大，當人們又計算它的年齡為100億年時，可在遠離我們200億光年的地方發現了類星體，加上類星體的年齡50億年，這樣宇宙的年齡至少為250億年，這顯示了標準模型的基本些不適當因素。
有限宇宙的困難說明了它的無限，然而這又使問題回到了本文開始所述的有限無限之爭而出現的引力發散問題上來了。
3.2 引力發散的進一步討論
在無限宇宙模型中，牛頓引力理論是需要作適當修正的，物質通過交換吸引子相互吸引，對于無限宇宙，每視線方向必然存在任意多恒星和不發光物質，這樣引力場就要逐步被吸收，衰減是必然的對頻率為ω的引力子的吸率為
A(ω)=8πG5hω3∑(a，b)U2abNaNb
U5ab∫dσabdΩsin2θdθ(18)
由于吸收作用，有限物質在無限遠處的引力勢必然為零，如果宇宙的物質是分布均勻的，各向同性的，有限物質的引力勢范圍應是一個有限的球。我們可以取修正的牛頓勢為:
=Aexp（-r/λ）r(19)
它隨距離的增加比牛頓引力理論更快地減小，這樣牛頓理論的困難就克服了，宇宙是無限的，然而對某一點的引力勢作貢獻的物質是有限的。
4 宇宙的無限子宇宙模型
宇宙是無限的，大爆炸也屬可能，這二者似乎矛盾。其實它們同時存在是那么的和諧自然，大爆炸宇宙學所描述的有限宇宙不過是無限宇宙中無限個孩子-子宇宙-中的一個。這無限多個子宇宙也包括封閉與開放三種形式，以及反物質子宇宙（也應有上述三種形式）。子宇宙之間距離極大，使得子宇宙本身成為近孤立系統，大爆炸所需狀態條件得以滿足。這樣，宇宙的無限和大爆炸就自然和諧地統一起來了，在子宇宙之間稀疏存在從場、基本粒子到塵埃物質，從恒星到星系等暫不屬于某一子宇宙的物質形式。
各子宇宙之間仍存在一定的聯系，微弱的引力，相互射出的光子，及各種基本粒子，乃至于宇宙由膨脹到收縮過程中由于速度漲落而逃逸的單個星體，星系等。
這一模型既可以解釋大爆炸模型可以解釋的哈勃紅移，2。7k背景輻射，氦豐度，天體年齡等觀測事實，又可以解決有限宇宙模型不可避免的蒸發和開放式爆炸而死亡的困難。同時還解決了宇宙中正反物質不對稱的困難。
和其它宇宙模型一樣，無限子宇宙模型只是一種近似，必然存在某種局限性，這是面對無限的宇宙，我們對它了解的實在是太少的原因。宇宙是無限的，為一定時間和空間所局限的人所認識的宇宙是有限的，不斷探索觀察，擴大視野，修正模型，才可能逐步趨近于被認識的無限宇宙的真面貌。
參考文獻
［1］趙侃士.牛頓的宇宙和西利格佯謬［Ｊ］.湖南師范大學自然科學學報，2001.
［2］于秦生.宇宙因子A的成因［J］. 安慶師范學院學報（自然科學版），1995.
